EM CADA QUESTÃO ABAIXO APRESENTE TODOS OS CÁLOÚLOS E/OU RACIOCÍNIOS FEITOS, JUSTIFICANDO SUAS RESPOSTAS.
Resolva o sistema de equações diferenciais
Resolva o sistema de equações diferenciais
Passo 1
O enunciado nos dá o sistema de equações diferenciais
e pede que encontremos todas as soluções (a solução geral). Informações relevantes fornecidas:
- Temos duas incógnitas dependentes do tempo:
e . - O sistema é linear e com coeficientes constantes.
- Não foram dadas condições iniciais, então devemos apresentar a solução geral com constantes arbitrárias.]
Passo 2
Vamos reduzir o sistema a uma única equação para
(isso é um truque padrão que funciona quando uma equação já dá uma variável em função da derivada da outra). Da primeira equação temos
Derivando essa expressão em relação a
obtemos
Agora substituímos
usando a segunda equação do sistema:
Mas
, então
Reescrevendo, obtemos uma equação diferencial ordinária de segunda ordem para
:
Passo 3
Agora resolvemos a equação linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
Usamos o método clássico: supor
e montar a equação característica. Substituindo obtemos
Calculamos as raízes:
portanto há uma raiz dupla
(multiplicidade 2). Quando a equação característica tem uma raiz real de multiplicidade 2, a solução geral de
é da forma
onde
e
são constantes arbitrárias (explico por que: as soluções independentes são
e
; a combinação linear delas gera a solução geral).
Passo 4
Agora obtemos
usando
. Derivamos
. Fazendo a derivada passo a passo:
Portanto
Passo 5
(Faço uma verificação rápida para ficar seguro.) Podemos verificar que essas expressões satisfazem o sistema original. Calculamos
a partir de
e comparamos com
.
Derivando
:
Agora calculamos
:
que coincide com
calculado acima. Assim a solução encontrada satisfaz o sistema, bom sinal.]
Passo 6
Resumo final e observação sobre método: escolhi reduzir o sistema a uma equação de segunda ordem porque aqui a primeira equação já dá
em função de
, o que torna essa redução direta e rápida. Alternativamente poderia-se resolver usando autovalores e autovetores da matriz do sistema (método matricial); para este sistema o autovalor é
com multiplicidade 2, levando à mesma forma de solução com vetor generalizado.