EM CADA QUESTÃO ABAIXO APRESENTE TODOS OS CÁLOÚLOS E/OU RACIOCÍNIOS FEITOS, JUSTIFICANDO SUAS RESPOSTAS.
Resolva o sistema de equações diferenciais
\left\{\begin{array}{l} x^{\prime}=y \\\ y^{\prime}=-4 x+4 y \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema de equações diferenciais
\left\{\begin{array}{l} x^{\prime}=y,\\[4pt] y^{\prime}=-4x+4y, \end{array}\right.
e pede que encontremos todas as soluções (a solução geral). Informações relevantes fornecidas:
  • Temos duas incógnitas dependentes do tempo: x(t) e y(t).
  • O sistema é linear e com coeficientes constantes.
  • Não foram dadas condições iniciais, então devemos apresentar a solução geral com constantes arbitrárias.]

Passo 2

Vamos reduzir o sistema a uma única equação para x(t) (isso é um truque padrão que funciona quando uma equação já dá uma variável em função da derivada da outra). Da primeira equação temos
x^{\prime}=y.
Derivando essa expressão em relação a t obtemos
x^{\prime\prime}=y^{\prime}.
Agora substituímos y^{\prime} usando a segunda equação do sistema:
x^{\prime\prime}=-4x+4y.
Mas y=x^{\prime}, então
x^{\prime\prime}=-4x+4x^{\prime}.
Reescrevendo, obtemos uma equação diferencial ordinária de segunda ordem para x(t):
x^{\prime\prime}-4x^{\prime}+4x=0.

Passo 3

Agora resolvemos a equação linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
x^{\prime\prime}-4x^{\prime}+4x=0.
Usamos o método clássico: supor x(t)=e^{rt} e montar a equação característica. Substituindo obtemos
r^{2}-4r+4=0.
Calculamos as raízes:
r^{2}-4r+4=(r-2)^{2}=0,
portanto há uma raiz dupla r=2 (multiplicidade 2). Quando a equação característica tem uma raiz real de multiplicidade 2, a solução geral de x(t) é da forma
x(t)=\bigl(C_{1}+C_{2}t\bigr)e^{2t},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias (explico por que: as soluções independentes são e^{2t} e t e^{2t}; a combinação linear delas gera a solução geral).

Passo 4

Agora obtemos y(t) usando y=x^{\prime}. Derivamos x(t)=\bigl(C_{1}+C_{2}t\bigr)e^{2t}. Fazendo a derivada passo a passo:
\begin{aligned} x^{\prime}(t)&= \frac{d}{dt}\bigl(C_{1}+C_{2}t\bigr)\cdot e^{2t} + \bigl(C_{1}+C_{2}t\bigr)\cdot \frac{d}{dt}e^{2t}\\[4pt] &= C_{2}e^{2t} + \bigl(C_{1}+C_{2}t\bigr)\cdot 2e^{2t}\\[4pt] &=\bigl(C_{2}+2C_{1}+2C_{2}t\bigr)e^{2t}\\[4pt] &=\bigl(2C_{1}+C_{2}+2C_{2}t\bigr)e^{2t}. \end{aligned}
Portanto
y(t)=x^{\prime}(t)=\bigl(2C_{1}+C_{2}+2C_{2}t\bigr)e^{2t}.]

Passo 5

(Faço uma verificação rápida para ficar seguro.) Podemos verificar que essas expressões satisfazem o sistema original. Calculamos y^{\prime} a partir de y(t) e comparamos com -4x+4y.
Derivando y(t)=\bigl(2C_{1}+C_{2}+2C_{2}t\bigr)e^{2t}:
\begin{aligned} y^{\prime}(t)&= \frac{d}{dt}\bigl(2C_{1}+C_{2}+2C_{2}t\bigr)\cdot e^{2t} + \bigl(2C_{1}+C_{2}+2C_{2}t\bigr)\cdot 2e^{2t}\\[4pt] &= 2C_{2}e^{2t} + \bigl(2C_{1}+C_{2}+2C_{2}t\bigr)\cdot 2e^{2t}\\[4pt] &=\bigl(2C_{2}+4C_{1}+2C_{2}+4C_{2}t\bigr)e^{2t}\\[4pt] &=\bigl(4C_{1}+4C_{2}+4C_{2}t\bigr)e^{2t}\\[4pt] &=4\bigl(C_{1}+C_{2}t\bigr)e^{2t}+4\bigl(C_{1}+C_{2}+C_{2}t\bigr)e^{2t}-\text{(essa linha é só para ver a forma)}. \end{aligned}éó
Agora calculamos -4x+4y:
\begin{aligned} -4x+4y&=-4\bigl(C_{1}+C_{2}t\bigr)e^{2t}+4\bigl(2C_{1}+C_{2}+2C_{2}t\bigr)e^{2t}\\[4pt] &=\bigl(-4C_{1}-4C_{2}t+8C_{1}+4C_{2}+8C_{2}t\bigr)e^{2t}\\[4pt] &=\bigl(4C_{1}+4C_{2}+4C_{2}t\bigr)e^{2t}, \end{aligned}
que coincide com y^{\prime}(t) calculado acima. Assim a solução encontrada satisfaz o sistema, bom sinal.]

Passo 6

Resumo final e observação sobre método: escolhi reduzir o sistema a uma equação de segunda ordem porque aqui a primeira equação já dá y em função de x^{\prime}, o que torna essa redução direta e rápida. Alternativamente poderia-se resolver usando autovalores e autovetores da matriz do sistema (método matricial); para este sistema o autovalor é \lambda=2 com multiplicidade 2, levando à mesma forma de solução com vetor generalizado.

Resposta

x(t)=\bigl(C_{1}+C_{2}t\bigr)e^{2t}
y(t)=\bigl(2C_{1}+C_{2}+2C_{2}t\bigr)e^{2t}

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