Encontre a solução geral dos sistemas abaixo:
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a solução geral do sistema
Informações dadas que vamos usar: as incógnitas são as funções
e
; o termo do lado direito é linear e homogêneo, com coeficientes constantes (soma de
e
nas duas equações). A tarefa é obter a expressão geral de
e
(contendo constantes arbitrárias).]
Passo 2
Escrevemos o sistema na forma de vetor-matriz para ficar mais claro. Definimos
Então o sistema fica compacto como
Explicação rápida: essa escrita significa exatamente as duas equações originais, só que juntas numa forma que facilita usar autovalores/autovetores.]
Passo 3
Método escolhido e por quê: procuramos soluções do tipo exponencial associadas a autovetores de
. A ideia é que se existir um vetor
e número
tais que
então
é solução de
pois
. Esses
são os autovalores (ou eigenvalues) e
os autovetores (eigenvectors). A solução geral de um sistema
com duas direções independentes é combinação linear dessas soluções exponenciais.
Passo 4
Calculamos os autovalores de
resolvendo o polinômio característico
. Primeiro escrevemos
O determinante é
Expandindo:
Logo as raízes são
e
. Portanto os autovalores são
e
.]
Passo 5
Encontramos autovetor correspondente a
. Resolvemos
:
As equações dão
e
, ou seja
. Podemos escolher o autovetor simples
qualquer múltiplo escalar também serve.]
Passo 6
Encontramos autovetor correspondente a
. Resolvemos
:
Das equações temos
, então
. Um autovetor conveniente é
Passo 7
As soluções fundamentais são
e
. Como
e
são linearmente independentes, a solução geral é combinação linear:
onde
e
são constantes reais arbitrárias (que seriam fixadas se tivéssemos condições iniciais).]
Passo 8
Escrevendo em componentes, a solução geral é
Se tivéssemos condições iniciais
cuja solução é
. Isso mostra como usar a solução geral na prática.]