Encontre a solução geral dos sistemas abaixo:
\left\{\begin{array}{l}x_{1}^{\prime}(t)=x_{1}(t)+x_{2}(t) \\\ x_{2}^{\prime}(t)=x_{1}(t)+x_{2}(t)\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a solução geral do sistema
\left\{\begin{array}{l} x_{1}^{\prime}(t)=x_{1}(t)+x_{2}(t)\\[4pt] x_{2}^{\prime}(t)=x_{1}(t)+x_{2}(t) \end{array}\right.
Informações dadas que vamos usar: as incógnitas são as funções x_{1}(t) e x_{2}(t); o termo do lado direito é linear e homogêneo, com coeficientes constantes (soma de x_{1} e x_{2} nas duas equações). A tarefa é obter a expressão geral de x_{1}(t) e x_{2}(t) (contendo constantes arbitrárias).]

Passo 2

Escrevemos o sistema na forma de vetor-matriz para ficar mais claro. Definimos
\mathbf{x}(t)=\begin{pmatrix}x_{1}(t)\\[4pt]x_{2}(t)\end{pmatrix}, \qquad A=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}.
Então o sistema fica compacto como
\mathbf{x}'(t)=A\mathbf{x}(t).
Explicação rápida: essa escrita significa exatamente as duas equações originais, só que juntas numa forma que facilita usar autovalores/autovetores.]

Passo 3

Método escolhido e por quê: procuramos soluções do tipo exponencial associadas a autovetores de A. A ideia é que se existir um vetor \mathbf{v} e número \lambda tais que
A\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v},
então \mathbf{x}(t)=e^{\lambda t}\mathbf{v} é solução de \mathbf{x}'=A\mathbf{x} pois \mathbf{x}'(t)=\lambda e^{\lambda t}\mathbf{v}=A(e^{\lambda t}\mathbf{v}). Esses \lambda são os autovalores (ou eigenvalues) e \mathbf{v} os autovetores (eigenvectors). A solução geral de um sistema 2\times2 com duas direções independentes é combinação linear dessas soluções exponenciais.

Passo 4

Calculamos os autovalores de A resolvendo o polinômio característico \det(A-\lambda I)=0. Primeiro escrevemos
A-\lambda I=\begin{pmatrix}1-\lambda & 1\\[4pt]1 & 1-\lambda\end{pmatrix}.
O determinante é
\det(A-\lambda I)=(1-\lambda)(1-\lambda)-1=(1-\lambda)^{2}-1.
Expandindo:
(1-\lambda)^{2}-1=1-2\lambda+\lambda^{2}-1=\lambda^{2}-2\lambda=\lambda(\lambda-2).
Logo as raízes são \lambda=0 e \lambda=2. Portanto os autovalores são \lambda_{1}=0 e \lambda_{2}=2.]

Passo 5

Encontramos autovetor correspondente a \lambda_{2}=2. Resolvemos (A-2I)\mathbf{v}=0:
\begin{pmatrix}1-2 & 1\\[4pt]1 & 1-2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}v_{1}\\[4pt]v_{2}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-1 & 1\\[4pt]1 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}v_{1}\\[4pt]v_{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
As equações dão -v_{1}+v_{2}=0 e v_{1}-v_{2}=0, ou seja v_{1}=v_{2}. Podemos escolher o autovetor simples
\mathbf{v}^{(2)}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix},
qualquer múltiplo escalar também serve.]

Passo 6

Encontramos autovetor correspondente a \lambda_{1}=0. Resolvemos A\mathbf{v}=0:
\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}v_{1}\\[4pt]v_{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Das equações temos v_{1}+v_{2}=0, então v_{2}=-v_{1}. Um autovetor conveniente é
\mathbf{v}^{(0)}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix}.]

Passo 7

As soluções fundamentais são \mathbf{x}^{(2)}(t)=e^{2t}\mathbf{v}^{(2)} e \mathbf{x}^{(0)}(t)=e^{0t}\mathbf{v}^{(0)}=\mathbf{v}^{(0)}. Como \mathbf{v}^{(2)} e \mathbf{v}^{(0)} são linearmente independentes, a solução geral é combinação linear:
\mathbf{x}(t)=C_{1}e^{2t}\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}+C_{2}\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix},
onde C_{1} e C_{2} são constantes reais arbitrárias (que seriam fixadas se tivéssemos condições iniciais).]

Passo 8

Escrevendo em componentes, a solução geral é
\begin{pmatrix}x_{1}(t)\\[4pt]x_{2}(t)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}C_{1}e^{2t}+C_{2}\\[6pt]C_{1}e^{2t}-C_{2}\end{pmatrix}.
Se tivéssemos condições iniciais \,x_{1}(0)=a\) e \(\,x_{2}(0)=b\), poderíamos determinar \(C_{1}\) e \(C_{2}\) resolvendo o sistema \[\begin{cases} C_{1}+C_{2}=a,\\[4pt] C_{1}-C_{2}=b, \end{cases}
cuja solução é C_{1}=(a+b)/2\] e \(C_{2}=(a-b)/2. Isso mostra como usar a solução geral na prática.]

Resposta

\displaystyle \mathbf{x}(t)=C_{1}e^{2t}\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}+C_{2}\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix}]

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