Use o mitodo da casca para determinar o volume dos sólidos obtidos com a rotacilio, em torno do eixo x, das Areas limitadas pelas curvas e retas a seguir.
y=\sqrt{x}, y=0, y=x=2

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo x a região do plano limitada pelas curvas e retas
y=\sqrt{x},\quad y=0,\quad x=2.
Informações relevantes do enunciado:
\text{Região: } \{(x,y)\mid 0\le y\le \sqrt{x},\\\ 0\le x\le 2\}.ã
Os limites verticais da região vão de y=0 até y=\sqrt{2} (porque em x=2 temos y=\sqrt{2}). A pergunta é: qual é o volume do sólido de revolução obtido ao girar essa região em torno do eixo x?

Passo 2

Explicação didática do método das cascas (para este caso): escolhemos fatias horizontais porque estamos girando em torno do eixo x e essas fatias são paralelas ao eixo de rotação. Cada fatia horizontal, de espessura \,dy, ao ser girada em torno do eixo x, gera uma casca cilíndrica.
Fórmula da casca cilíndrica:
dV = 2\pi \cdot (\text{raio}) \cdot (\text{altura da casca}) \cdot (\text{espessura}).
Aqui:
  • \text{raio} é a distância da fatia até o eixo x (ou seja, \,r=y,);
  • \text{altura da casca} é o comprimento horizontal da fatia dentro da região (diferença entre a abscissa direita e a esquerda);
  • \text{espessura} = dy.
Racionalização da fórmula (curta): a circunferência da casca é 2\pi r, multiplicando pela altura obtemos a área lateral aproximada; multiplicando pela espessura dy obtemos o volume elementar.

Passo 3

Determinar as expressões das quantidades da casca para esta região:
  • O raio é \,r=y.
  • A fatia horizontal, para um dado y, vai de x dado pela curva y=\sqrt{x} até a reta x=2. Da curva temos x=y^2. Portanto a abscissa esquerda é x=y^2 e a direita é x=2.
  • Assim a altura da casca é
\text{altura} = 2 - y^2.
  • Os valores de y percorrem o intervalo
0\le y\le \sqrt{2}.

Passo 4

Montar o integral pelo método das cascas usando as expressões obtidas:
V=\int_{y=0}^{y=\sqrt{2}} 2\pi \cdot y \cdot (2 - y^2)\,dy.

Passo 5

Simplificar o integrando e tirar constantes:
V = 2\pi \int_{0}^{\sqrt{2}} \bigl(2y - y^3\bigr)\,dy.
Calcular a primitiva:
\int \bigl(2y - y^3\bigr)\,dy = y^2 - \frac{1}{4}y^4 + C.
Portanto,
V = 2\pi\left[\,y^2 - \frac{1}{4}y^4\,\right]_{0}^{\sqrt{2}}.

Passo 6

Avaliar a primitiva nos limites:
Para y=\sqrt{2} temos \,y^2=2 e \,y^4=4. Logo
y^2 - \frac{1}{4}y^4 \Big|_{y=\sqrt{2}} = 2 - \frac{1}{4}\cdot 4 = 2 - 1 = 1.
Para y=0 a expressão vale 0. Portanto
V = 2\pi \cdot 1 = 2\pi.

Passo 7

Interpretação final e checagem rápida: o resultado é um número positivo e tem a forma 2\pi, coerente com volumes de revolução simples. Tivemos cuidado ao expressar a altura da casca como a diferença entre x=2 (reta vertical) e x=y^2 (inversa da curva), e a integração em y de 0 a \sqrt{2} é consistente com a região dada.

Resposta

V=2\pi

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