Use o mitodo da casca para determinar o volume dos sólidos obtidos com a rotacilio, em torno do eixo x, das Areas limitadas pelas curvas e retas a seguir.
y=x, y=36, y=2

Passo 1

O enunciado pede: “Use o método da casca para determinar o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo x, da área limitada pelas curvas e retas: y=x, y=36, y=2.”
Informações dadas:
  • As curvas são \;y=x\;, \;y=36\; e \;y=2\;.
  • O eixo de rotação é o eixo x.
  • Queremos o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por essas curvas.
Observação importante (para termos uma região limitada e finita): as três curvas dadas isoladamente não fecham uma região finita (se considerarmos todo o plano, para um mesmo y entre 2 e 36 a coordenada x poderia ir até -\infty). O enunciado só faz sentido como problema de volume se entendermos a região como aquela entre as retas horizontais y=2 e y=36, o segmento da reta y=x entre essas alturas e o eixo y (isto é, o conjunto dos pontos com 2\le y\le 36 e 0\le x\le y). Vou adotar essa interpretação (região no 1.º quadrante limitada por x=0, y=2, y=36 e y=x), pois é a única que define uma área limitada que pode ser girada para obter um volume finito.

Passo 2

Escolha do método: o enunciado exige o “método da casca”. Lembrete do princípio do método da casca:
  • Quando giramos uma região em torno de um eixo, podemos tomar “tiras” paralelas ao eixo de rotação; cada tira gera ao girar uma casca cilíndrica.
  • Para rotação em torno do eixo x, as cascas naturais são horizontais (tiras de espessura dy).
    Fórmula elemental (casca cilíndrica horizontal): a contribuição de volume de uma casca de raio r, altura h e espessura dy é
dV = 2\pi \cdot (\text{raio})\cdot (\text{altura})\cdot (\text{espessura}) = 2\pi r h\,dy.
Aqui devemos identificar r e h em função de y.

Passo 3

Determinar raio r(y) e altura h(y) da casca para a nossa região:
  • Uma casca horizontal, localizada na altura y, ao girar em torno do eixo x tem raio igual à distância vertical entre a tira e o eixo x. Logo
r(y)=y.
(Explicação: o eixo x é a reta y=0; uma tira em altura y está a distância y do eixo.)
  • A altura da casca é a extensão horizontal da região nessa altura y. Pela interpretação adotada (região entre x=0 e a reta x=y), essa extensão é
h(y)=x_{\text{direita}}-x_{\text{esquerda}}=y-0=y.
Portanto, tanto o raio quanto a altura valem y para y entre 2 e 36.

Passo 4

Montar o elemento de volume dV usando a fórmula da casca:
dV = 2\pi \, r(y)\, h(y)\, dy = 2\pi \cdot y \cdot y \, dy = 2\pi y^{2}\, dy.
Agora integramos dV para y variando entre as duas horizontais que limitam a região:
V = \int_{y=2}^{y=36} 2\pi y^{2}\, dy.

Passo 5

Calcular a integral passo a passo:
  • Primeiro fatoramos a constante 2\pi:
V = 2\pi \int_{2}^{36} y^{2}\, dy.
  • A primitiva de y^{2} é \dfrac{y^{3}}{3}. Então
V = 2\pi \left[ \dfrac{y^{3}}{3} \right]_{2}^{36}.
  • Avaliando nos extremos:
V = 2\pi \left( \dfrac{36^{3}}{3} - \dfrac{2^{3}}{3} \right) = \dfrac{2\pi}{3}\left(36^{3}-2^{3}\right).
  • Calcule os cubos: 36^{3}=46656 e 2^{3}=8. Logo
V = \dfrac{2\pi}{3}\left(46656-8\right)=\dfrac{2\pi}{3}\cdot 46648.
  • Multiplicando os fatores obtemos uma forma compacta:
V = \dfrac{93296}{3}\pi.

Passo 6

Interpretação e conferência rápida (sanity check):
  • Unidade: o resultado está em unidades cúbicas (coerente).
  • Se preferir, pode-se deixar a resposta como fatorada:
V=\dfrac{2\pi}{3}\bigl(36^{3}-2^{3}\bigr),
que é exatamente o que obtivemos antes da expansão. Essa forma evidencia a origem geométrica do resultado.

Resposta

\dfrac{93296}{3}\pi

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