Use o mitodo da casca para determinar o volume dos sólidos obtidos com a rotacilio, em torno do eixo
, das Areas limitadas pelas curvas e retas a seguir.
Passo 1
O enunciado pede: “Use o método da casca para determinar o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo
, da área limitada pelas curvas e retas:
,
,
.”
Informações dadas:
- As curvas são
, e . - O eixo de rotação é o eixo
. - Queremos o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por essas curvas.
Observação importante (para termos uma região limitada e finita): as três curvas dadas isoladamente não fecham uma região finita (se considerarmos todo o plano, para um mesmo
entre
e
a coordenada
poderia ir até
). O enunciado só faz sentido como problema de volume se entendermos a região como aquela entre as retas horizontais
e
, o segmento da reta
entre essas alturas e o eixo
(isto é, o conjunto dos pontos com
e
). Vou adotar essa interpretação (região no 1.º quadrante limitada por
,
,
e
), pois é a única que define uma área limitada que pode ser girada para obter um volume finito.
Passo 2
Escolha do método: o enunciado exige o “método da casca”. Lembrete do princípio do método da casca:
- Quando giramos uma região em torno de um eixo, podemos tomar “tiras” paralelas ao eixo de rotação; cada tira gera ao girar uma casca cilíndrica.
- Para rotação em torno do eixo
, as cascas naturais são horizontais (tiras de espessura ).
Fórmula elemental (casca cilíndrica horizontal): a contribuição de volume de uma casca de raio, altura e espessura é
Aqui devemos identificar
e
em função de
.
Passo 3
Determinar raio
e altura
da casca para a nossa região:
- Uma casca horizontal, localizada na altura
, ao girar em torno do eixo tem raio igual à distância vertical entre a tira e o eixo . Logo
(Explicação: o eixo
é a reta
; uma tira em altura
está a distância
do eixo.)
- A altura da casca é a extensão horizontal da região nessa altura
. Pela interpretação adotada (região entre e a reta ), essa extensão é
Portanto, tanto o raio quanto a altura valem
para
entre
e
.
Passo 4
Montar o elemento de volume
usando a fórmula da casca:
Agora integramos
para
variando entre as duas horizontais que limitam a região:
Passo 5
Calcular a integral passo a passo:
- Primeiro fatoramos a constante
:
- A primitiva de
é . Então
- Avaliando nos extremos:
- Calcule os cubos:
e . Logo
- Multiplicando os fatores obtemos uma forma compacta:
Passo 6
Interpretação e conferência rápida (sanity check):
- Unidade: o resultado está em unidades cúbicas (coerente).
- Se preferir, pode-se deixar a resposta como fatorada:
que é exatamente o que obtivemos antes da expansão. Essa forma evidencia a origem geométrica do resultado.