Encontre a solução geral para os sistemas lineares homogêneos: [Observe que nestes casos aparecem autovalores complexos].
X^{\prime}(t)=\left(\begin{array}{rr}1 & 2 \\\\ -2 & 1\end{array}\right) X(t).

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do sistema linear homogêneo
X'(t)=A\,X(t),\quad A=\begin{pmatrix}1 & 2\\\\ -2 & 1\end{pmatrix}.
O conteúdo usado é o de sistemas lineares com coeficientes constantes e autovalores complexos: calculamos autovalores, autovetores complexos e, em seguida, extraímos a parte real das soluções.

Passo 2

Calculemos o polinômio característico de A:
\det(A-\lambda I)=\det\begin{pmatrix}1-\lambda & 2\\\ -2 &1-\lambda\end{pmatrix} =(1-\lambda)^2+4=0.
Daí
(1-\lambda)^2=-4\quad\Rightarrow\quad\lambda=1\pm 2i.

Passo 3

Escolhemos \lambda_{1}=1+2i e achamos um autovetor v\neq0 satisfazendo (A-\lambda_{1}I)v=0:
\begin{pmatrix}1-(1+2i)&2\\\ -2&1-(1+2i)\end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_{1}\v_{2}\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}-2i &2\\\ -2 &-2i\end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_{1}\v_{2}\end{pmatrix}=0.
Da primeira equação -2i\,v_{1}+2\,v_{2}=0 segue v_{2}=i\,v_{1}. Tomamos v_{1}=1, logo
v=\begin{pmatrix}1\i\end{pmatrix}.

Passo 4

Uma solução complexa é
X_{c}(t)=e^{(1+2i)t}\,v.
Escrevendo v=p+i\,q com p=\begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix}, q=\begin{pmatrix}0\\\ 1\end{pmatrix}, temos
X_{c}(t)=e^{t}\bigl(p\cos2t -q\sin2t\bigr) +i\,e^{t}\bigl(p\sin2t+q\cos2t\bigr).
As partes real e imaginária são soluções reais independentes.

Passo 5

Portanto, a solução geral real é combinação linear dessas partes:
X(t)=C_{1}\,e^{t}\begin{pmatrix}\cos2t\\\ -\,\sin2t\end{pmatrix} + C_{2}\,e^{t}\begin{pmatrix}\sin2t\\cos2t\end{pmatrix},
onde C_{1} e C_{2} são constantes reais arbitrárias.

Resposta

X(t)=C_{1}\,e^{t}\begin{pmatrix}\cos2t\\\ -\,\sin2t\end{pmatrix} + C_{2}\,e^{t}\begin{pmatrix}\sin2t\\cos2t\end{pmatrix}.

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