Encontre a solução geral para os sistemas lineares homogêneos: [Observe que nestes casos aparecem autovalores complexos].
.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral do sistema linear homogêneo
O conteúdo usado é o de sistemas lineares com coeficientes constantes e autovalores complexos: calculamos autovalores, autovetores complexos e, em seguida, extraímos a parte real das soluções.
Passo 2
Calculemos o polinômio característico de
:
Daí
Passo 3
Escolhemos
e achamos um autovetor
satisfazendo
:
Da primeira equação
segue
. Tomamos
, logo
Passo 4
Uma solução complexa é
Escrevendo
com
,
, temos
As partes real e imaginária são soluções reais independentes.
Passo 5
Portanto, a solução geral real é combinação linear dessas partes:
onde
e
são constantes reais arbitrárias.