Encontre a solução geral para os sistemas lineares homogêneos: [Observe que nestes casos aparecem autovalores complexos].
X^{\prime}(t)=\left(\begin{array}{rr}0 & 3 \\\\ -3 & 0\end{array}\right) X(t).

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do sistema linear homogêneo
X'(t)=\begin{pmatrix}0 & 3 \\\\ -3 & 0\end{pmatrix}X(t),
cuja matriz de coeficientes tem autovalores complexos. Vamos usar o método de autovalores e autovetores complexos e depois extrair soluções reais.

Passo 2

Calculamos os autovalores resolvendo
\det\bigl(A-\lambda I\bigr) =\det\begin{pmatrix}-\lambda & 3\\\ -3 & -\lambda\end{pmatrix} =\lambda^2+9 =0
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\lambda=\pm 3i.

Passo 3

Para \lambda=3i, resolvemos (A-3iI)v=0:
\begin{pmatrix}-3i & 3\\\ -3 & -3i\end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_1\v_2\end{pmatrix} =0 \;\Longrightarrow\; -3i\,v_1+3\,v_2=0 \;\Longrightarrow\; v_2=i\,v_1.
Escolhendo v_1=1, um autovetor é
v=\begin{pmatrix}1\i\end{pmatrix}.

Passo 4

A solução complexa associada é
X_c(t) =v\,e^{3i t} =\begin{pmatrix}1\i\end{pmatrix}e^{3i t}.

Passo 5

Escrevendo X_c(t)=\alpha(t)+i\,\beta(t) e usando
e^{3i t}=\cos(3t)+i\sin(3t),
vemos que
\alpha(t)=\begin{pmatrix}\cos(3t)\\\ -\sin(3t)\end{pmatrix}, \quad \beta(t)=\begin{pmatrix}\sin(3t)\\cos(3t)\end{pmatrix}.

Passo 6

Como \alpha(t) e \beta(t) são soluções reais independentes, a solução geral é
X(t)=C_1\,\alpha(t)+C_2\,\beta(t) = C_1\begin{pmatrix}\cos(3t)\\\ -\sin(3t)\end{pmatrix} + C_2\begin{pmatrix}\sin(3t)\\cos(3t)\end{pmatrix},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

Resposta

X(t)=C_1\begin{pmatrix}\cos(3t)\\\ -\sin(3t)\end{pmatrix} + C_2\begin{pmatrix}\sin(3t)\\cos(3t)\end{pmatrix}.

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