Encontre a solução geral para os sistemas lineares homogêneos:
。
[Observe que nestes casos aparecem autovalores complexos].
[Observe que nestes casos aparecem autovalores complexos].
Passo 1
O enunciado pede a solução geral do sistema linear homogêneo
onde
e já nos dão os autovalores
,
,
.
O conteúdo aqui é solução de sistemas por autovalores e autovetores, incluindo o tratamento de autovalores complexos para gerar soluções reais.
O conteúdo aqui é solução de sistemas por autovalores e autovetores, incluindo o tratamento de autovalores complexos para gerar soluções reais.
Passo 2
Encontrar o autovetor associado a
. Resolvemos
Dessas equações obtemos
Escolhendo
, um autovetor é
Passo 3
Encontrar um autovetor para
. Resolvemos
Tomando
para simplificar, obtemos
Logo um autovetor para
é
O autovetor para
é simplesmente o conjugado de
.
Passo 4
Para converter as soluções complexas em reais, escrevemos
onde
A solução complexa é
As partes real e imaginária de
dão duas soluções reais independentes, que são
Explicitamente:
Passo 5
A solução geral real do sistema é combinação linear das três soluções
,
e
. Logo
onde
são constantes arbitrárias.