Encontre a solução geral para os sistemas lineares homogêneos:
X^{\prime}(t)=\left(\begin{array}{rrr}2 & -1 & 1 \\\\ 1 & 0 & 1 \\\\ -2 & 0 & -1\end{array}\right) X(t) \quad\left[\lambda_{1}=1 ; \lambda_{2}=i ; \lambda_{3}=-i\right]
[Observe que nestes casos aparecem autovalores complexos].

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do sistema linear homogêneo
X'(t)=A\,X(t),
onde
A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1\\\\ 1 & 0 & 1\\\\ -2 & 0 & -1 \end{pmatrix},
e já nos dão os autovalores \lambda_{1}=1, \lambda_{2}=i, \lambda_{3}=-i.
O conteúdo aqui é solução de sistemas por autovalores e autovetores, incluindo o tratamento de autovalores complexos para gerar soluções reais.

Passo 2

Encontrar o autovetor associado a \lambda_{1}=1. Resolvemos
(A - I)v=0 \quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1\\\\ 1 & -1 & 1\\\\ -2 & 0 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_{1}\v_{2}\v_{3}\end{pmatrix} =0.
Dessas equações obtemos
v_{3}=-v_{1}, \quad v_{2}=0.
Escolhendo v_{1}=1, um autovetor é
v^{(1)} = \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ -1\end{pmatrix}.

Passo 3

Encontrar um autovetor para \lambda_{2}=i. Resolvemos
(A - iI)v=0 \quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix} 2-i & -1 & 1\\\\ 1 & -i & 1\\\\ -2 & 0 & -1-i \end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_{1}\v_{2}\v_{3}\end{pmatrix} =0.
Tomando v_{3}=2 para simplificar, obtemos
v_{1} = -1 - i, \quad v_{2} = -1 - i.
Logo um autovetor para i é
v^{(2)} = \begin{pmatrix}-1 - i\\\ -1 - i\\\ 2\end{pmatrix}.
O autovetor para \lambda_{3}=-i é simplesmente o conjugado de v^{(2)}.

Passo 4

Para converter as soluções complexas em reais, escrevemos
v^{(2)} = a + i\,b,
onde
a = \begin{pmatrix}-1\\\ -1\\\ 2\end{pmatrix}, \quad b = \begin{pmatrix}-1\\\ -1\\\ 0\end{pmatrix}.
A solução complexa é
X_{c}(t)=e^{i t}(a + i b) =e^{0\cdot t}\bigl(\cos t + i\sin t\bigr)(a + i b).
As partes real e imaginária de X_{c}(t) dão duas soluções reais independentes, que são
u_{1}(t)=\cos t\,a - \sin t\,b, \quad u_{2}(t)=\sin t\,a + \cos t\,b.
Explicitamente:
u_{1}(t)= \begin{pmatrix} -\cos t + \sin t\\\\ -\cos t + \sin t\\\\ 2\cos t \end{pmatrix}, \quad u_{2}(t)= \begin{pmatrix} -\,\sin t - \cos t\\\\ -\,\sin t - \cos t\\\\ 2\sin t \end{pmatrix}.

Passo 5

A solução geral real do sistema é combinação linear das três soluções
\displaystyle e^{t}v^{(1)}, u_{1}(t) e u_{2}(t). Logo
X(t) = C_{1}\,e^{t} \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ -1\end{pmatrix} + C_{2} \begin{pmatrix} -\,\cos t + \sin t\\\\ -\,\cos t + \sin t\\\\ 2\cos t \end{pmatrix} + C_{3} \begin{pmatrix} -\,\sin t - \cos t\\\\ -\,\sin t - \cos t\\\\ 2\sin t \end{pmatrix},
onde C_{1},C_{2},C_{3} são constantes arbitrárias.

Resposta

X(t)= C_{1}\,e^{t} \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ -1\end{pmatrix} + C_{2} \begin{pmatrix} -\,\cos t + \sin t\\\\ -\,\cos t + \sin t\\\\ 2\cos t \end{pmatrix} + C_{3} \begin{pmatrix} -\,\sin t - \cos t\\\\ -\,\sin t - \cos t\\\\ 2\sin t \end{pmatrix}.

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