Encontre a solução geral dos sistemas abaixo. Quando uma condição inicial for dada, encontre a única solução. Para encontrar a solução particular, use ou método dos coeficientes a determinar ou a fórmula da variação dos parâmetros. (nesta questão pode ser útil lembrar que a inversa de uma matriz 2 \times 2 não singular é dada por \left(\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right)^{-1}=\frac{1}{a d-b c}\left(\begin{array}{rr}d & -b \\\\ -c & a\end{array}\right) )
X^{\prime}(t)=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\\\ 3 & 2\end{array}\right) X(t)+e^{t}\binom{1}{2}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do sistema não homogêneo
X'(t)=A\,X(t)+f(t),
onde
A=\begin{pmatrix}1&2\\\ 3&2\end{pmatrix}, \quad f(t)=e^t\begin{pmatrix}1\\\ 2\end{pmatrix}.
O conteúdo é resolução de sistemas lineares por decomposição em modos (autovalores e autovetores) para a parte homogênea e método dos coeficientes a determinar (ou variação de parâmetros) para a parte particular.

Passo 2

Encontramos os autovalores de A pela equação característica
\det(A-\lambda I) =\det\begin{pmatrix}1-\lambda&2\\\ 3&2-\lambda\end{pmatrix} =(1-\lambda)(2-\lambda)-6 =\lambda^2-3\lambda-4=0,
cuja solução é
\lambda_1=4,\quad \lambda_2=-1.
Para \lambda_1=4, resolvemos (A-4I)v=0:
\begin{pmatrix}-3&2\\\ 3&-2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_1\v_2\end{pmatrix}=0 \implies v_2=\tfrac32\,v_1,
podendo escolher v^{(1)}=(2,3)^T.
Para \lambda_2=-1, resolvemos (A+I)w=0:
\begin{pmatrix}2&2\\\ 3&3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}w_1\w_2\end{pmatrix}=0 \implies w_2=-w_1,
podendo escolher v^{(2)}=(1,-1)^T.

Passo 3

A solução geral da parte homogênea é
X_h(t) =C_1e^{4t}\begin{pmatrix}2\\\ 3\end{pmatrix} +C_2e^{-t}\begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix},
onde C_1,C_2 são constantes arbitrárias.

Passo 4

Para achar uma solução particular, fazemos a suposição
X_p(t)=c\,e^t,
com c=(a,b)^T constante. Então
X_p'(t)=c\,e^t, \quad A\,X_p(t)+f(t) =A(c\,e^t)+e^t\begin{pmatrix}1\\\ 2\end{pmatrix} =e^t\bigl(Ac+\begin{pmatrix}1\\\ 2\end{pmatrix}\bigr).
Igualando X_p'=AX_p+f
c = Ac + \begin{pmatrix}1\\\ 2\end{pmatrix} \;\Longleftrightarrow\; (I-A)\,c = \begin{pmatrix}1\\\ 2\end{pmatrix}.
Como
I-A=\begin{pmatrix}0&-2\\\ -3&-1\end{pmatrix},
temos o sistema
\begin{cases} -2b=1,\\\\ -3a - b=2, \end{cases}
cuja solução é
a=-\tfrac12,\quad b=-\tfrac12.
Logo
X_p(t)=-\tfrac12\,e^t\begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix}.

Passo 5

A solução geral do sistema não homogêneo é
X(t)=X_h(t)+X_p(t) =C_1e^{4t}\begin{pmatrix}2\\\ 3\end{pmatrix} +C_2e^{-t}\begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix} -\tfrac12\,e^t\begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix}.

Resposta

X(t) =C_1\,e^{4t}\begin{pmatrix}2\\\ 3\end{pmatrix} +C_2\,e^{-t}\begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix} -\frac12\,e^t\begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix},
onde C_1,C_2 são constantes que se ajustam às condições iniciais.

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