Encontre a solução geral e a solução do problema de valor inicial quando dado:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
Isto é um EDO homogênea. Para resolvê-la, formamos a equação característica associada.
Passo 2
A equação característica é
Calculamos o discriminante:
Logo as raízes são complexas:
Passo 3
Para raízes
com
,
, a solução geral é
Substituindo, obtemos
Passo 4
Para o problema de valor inicial, suponha
Calculamos
e
em termos de
:
- Em :
- Em
logo
.
- Derivando a solução geral:
- Derivando a solução geral:
Em
:
Passo 5
Substituindo
e
na solução geral, a solução do IVP fica
Resposta
Solução geral:
Solução do IVP com
,
: