Encontre a solução geral e a solução do problema de valor inicial quando dado:
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+5 y=0 ; y\left(\frac{\pi}{2}\right)=0, y^{\prime}\left(\frac{\pi}{2}\right)=2

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO linear homogênea com coeficientes constantes
y''-2y'+5y=0
e depois a solução que satisfaz as condições iniciais
y\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=0,\quad y'\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=2.
O método envolve formar a equação característica e usar raízes complexas.

Passo 2

Formamos a equação característica trocando y por e^{rx}:
r^2-2r+5=0.
Calculando o discriminante, \Delta=(-2)^2-4\cdot1\cdot5=4-20=-16, as raízes são
r=\frac{2\pm\sqrt{-16}}{2}=1\pm2\,i.

Passo 3

Para raízes r=1\pm2\,i, a solução geral é
y(x)=e^{x}\bigl(C_{1}\cos(2x)+C_{2}\sin(2x)\bigr),
onde C_{1} e C_{2} são constantes a determinar.

Passo 4

Calculamos a derivada:
y'(x) =e^{x}\bigl(C_{1}\cos2x+C_{2}\sin2x\bigr) +e^{x}\bigl(-2C_{1}\sin2x+2C_{2}\cos2x\bigr) =e^{x}\bigl((C_{1}+2C_{2})\cos2x+(C_{2}-2C_{1})\sin2x\bigr).

Passo 5

Aplicamos x=\tfrac{\pi}{2}. Como \cos(\pi)=-1 e \sin(\pi)=0:
  1. De y(\tfrac{\pi}{2})=0 vem
0=e^{\pi/2}\bigl(C_{1}\cos\pi +C_{2}\sin\pi\bigr) =-C_{1}e^{\pi/2} \quad\Longrightarrow\quad C_{1}=0.
  1. De y'(\tfrac{\pi}{2})=2 vem
2 =e^{\pi/2}\bigl((C_{1}+2C_{2})\cos\pi+(C_{2}-2C_{1})\sin\pi\bigr) =-2C_{2}e^{\pi/2} \quad\Longrightarrow\quad C_{2}=-e^{-\pi/2}.

Resposta

A solução geral é
y(x)=e^{x}\bigl(C_{1}\cos2x+C_{2}\sin2x\bigr).
A solução do problema de valor inicial é
y(x)=-e^{\,x-\frac{\pi}{2}}\sin(2x).

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