Encontre a solução geral e a solução do problema de valor inicial quando dado:
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+2 y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral e a solução de valor inicial da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 2\,y' + 2\,y = 0.
O conteúdo é EDO homogênea com coeficientes constantes. Para resolver, vamos: (i) montar a equação característica; (ii) obter as raízes; (iii) escrever a solução geral; (iv) impor condições iniciais y(0)=y_0 e y'(0)=y_1 para achar os constantes.

Passo 2

Montamos a equação característica substituindo y=e^{r x}:
r^2 - 2\,r + 2 = 0.

Passo 3

Resolvendo por fórmula de Bhaskara:
r = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4\cdot1\cdot2}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2} = 1 \pm i.

Passo 4

Como as raízes são complexas r = \alpha \pm i\beta com \alpha=1, \beta=1, a solução geral é
y(x) = e^{\alpha x}\bigl(C_1\cos(\beta x) + C_2\sin(\beta x)\bigr)
ou seja
y(x) = e^{x}\bigl(C_1\cos x + C_2\sin x\bigr).

Passo 5

Para o problema de valor inicial, definimos
\;y(0)=y_0 e \;y'(0)=y_1.
Primeiro avalia-se
y(0) = e^0\bigl(C_1\cos0 + C_2\sin0\bigr) = C_1 = y_0.
Em seguida, derivamos
y'(x) = e^{x}(C_1\cos x + C_2\sin x) + e^{x}(-C_1\sin x + C_2\cos x) = e^{x}\bigl((C_1+C_2)\cos x + (C_2 - C_1)\sin x\bigr),
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y'(0) = (C_1 + C_2) = y_1 \quad\Longrightarrow\quad C_2 = y_1 - y_0.

Passo 6

Substituindo C_1 e C_2 na solução geral, obtemos a solução do IVP:
\boxed{ y(x) = e^{x}\bigl(y_0\cos x + (y_1 - y_0)\sin x\bigr). }

Resposta

Solução geral:
y(x) = e^{x}\bigl(C_1\cos x + C_2\sin x\bigr).
Solução do problema de valor inicial y(0)=y_0,\;y'(0)=y_1:
y(x) = e^{x}\bigl(y_0\cos x + (y_1 - y_0)\sin x\bigr).

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