Encontre a solução geral e a solução do problema de valor inicial quando dado:
Passo 1
O enunciado pede a solução geral e a solução do problema de valor inicial da equação diferencial
Trata-se de uma equação linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos usar a equação característica para encontrar as raízes, montar a solução geral e, em seguida, aplicar as condições iniciais
e
.
Passo 2
Escrevemos a equação característica
cuja fatoração leva a
Passo 3
Como as raízes são reais e distintas, a solução geral é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 4
Para impor as condições iniciais, calculamos a derivada
No ponto
, obtemos
Passo 5
Da segunda condição inicial vem
e então
Substituindo em
, resulta
Resposta
Solução geral:
Solução do problema de valor inicial com
e
: