Encontre a solução geral e a solução do problema de valor inicial quando dado:
y^{\prime \prime}+5 y^{\prime}=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral e a solução do problema de valor inicial da equação diferencial
y'' + 5y' = 0.
Trata-se de uma equação linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos usar a equação característica para encontrar as raízes, montar a solução geral e, em seguida, aplicar as condições iniciais y(0)=y_0 e y'(0)=y'_0.

Passo 2

Escrevemos a equação característica
r^2 + 5r = 0,
cuja fatoração leva a
r(r + 5) = 0 \quad\Longrightarrow\quad r = 0,\;-5.

Passo 3

Como as raízes são reais e distintas, a solução geral é
y(x) = C_1 e^{0\cdot x} + C_2 e^{-5x} = C_1 + C_2 e^{-5x},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

Passo 4

Para impor as condições iniciais, calculamos a derivada
y'(x) = -5\,C_2 e^{-5x}.
No ponto x=0, obtemos
y(0) = C_1 + C_2 = y_0, \qquad y'(0) = -5\,C_2 = y'_0.

Passo 5

Da segunda condição inicial vem
C_2 = -\frac{y'_0}{5},
e então
C_1 = y_0 - C_2 = y_0 + \frac{y'_0}{5}.
Substituindo em y(x), resulta
y(x) = \Bigl(y_0 + \tfrac{y'_0}{5}\Bigr) - \frac{y'_0}{5}\,e^{-5x} = y_0 + \frac{y'_0}{5}\bigl(1 - e^{-5x}\bigr).

Resposta

Solução geral:
y(x) = C_1 + C_2 e^{-5x}.
Solução do problema de valor inicial com y(0)=y_0 e y'(0)=y'_0:
y(x) = y_0 + \frac{y'_0}{5}\bigl(1 - e^{-5x}\bigr).

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