Encontre a solução geral e a solução do problema de valor inicial quando dado:
y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}-3 y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO
y'' + 2y' - 3y = 0
que é linear, homogênea e de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos resolver usando a equação característica.

Passo 2

Escrevemos a equação característica
r^2 + 2r - 3 = 0.
Resolvendo,
r = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{-2 \pm 4}{2},
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r_1 = 1, \quad r_2 = -3.

Passo 3

Como as raízes são reais e distintas, a solução geral é
y(x) = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x} \quad\Longrightarrow\quad y(x) = C_1 e^{x} + C_2 e^{-3x}.

Passo 4

Para formular o problema de valor inicial, suponha
y(0) = y_0, \quad y'(0) = y_1.
Da solução geral temos
y(0) = C_1 + C_2 = y_0,
y'(x) = C_1 e^{x} - 3C_2 e^{-3x} \quad\Longrightarrow\quad y'(0) = C_1 - 3C_2 = y_1.

Passo 5

Resolvendo o sistema
\begin{cases} C_1 + C_2 = y_0,\\\ C_1 - 3C_2 = y_1, \end{cases}
subtraindo a segunda equação da primeira obtém­‐se
4C_2 = y_0 - y_1 \quad\Longrightarrow\quad C_2 = \frac{y_0 - y_1}{4},
e
C_1 = y_0 - C_2 = y_0 - \frac{y_0 - y_1}{4} = \frac{3y_0 + y_1}{4}.

Resposta

A solução geral é
y(x) = C_1 e^{x} + C_2 e^{-3x}.
A solução do problema de valor inicial \,y(0)=y_0,\;y'(0)=y_1 é
y(x) = \frac{3y_0 + y_1}{4}\,e^{x} + \frac{y_0 - y_1}{4}\,e^{-3x}.

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