Encontre a solução geral:
y^{\prime \prime}-7 y^{\prime}+12 y=5 e^{4 x}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y''-7y'+12y=5e^{4x}.
Informações dadas:
  • É uma equação linear não-homogênea de segunda ordem.
  • O termo não-homogêneo (forçamento) é 5e^{4x}.
    O objetivo final é obter a família de todas as soluções y(x) que satisfazem essa equação.

Passo 2

Primeiro vamos resolver a equação homogênea associada (ou seja, com o lado direito igual a zero):
y''-7y'+12y=0.
A técnica padrão aqui é procurar soluções da forma y=e^{rx}. Substituindo na homogênea obtemos a equação característica
r^{2}-7r+12=0.
Vamos resolver essa equação quadrática.

Passo 3

Resolver r^{2}-7r+12=0 usando fatoração ou fórmula quadrática. Tentamos fatorar: os números que multiplicam para 12 e somam -7 são -3 e -4. Logo
r^{2}-7r+12=(r-3)(r-4)=0,
portanto as raízes são
r_{1}=3,\qquad r_{2}=4.
Como são duas raízes reais distintas, a solução geral da equação homogênea é
y_{h}(x)=C_{1}e^{3x}+C_{2}e^{4x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias (constantes de integração).

Passo 4

Agora precisamos de uma solução particular y_{p}(x) da equação não-homogênea
y''-7y'+12y=5e^{4x}.
Explicando a técnica escolhida (muito usada em provas): pelo método dos coeficientes a determinar, quando o termo não-homogêneo é P(x)e^{\alpha x} com P polinomial, tenta-se um palpite da forma x^{s}Q(x)e^{\alpha x}, onde Q tem o mesmo grau de P e s é o menor inteiro não-negativo tal que x^{s}e^{\alpha x} não seja solução da homogênea. Aqui P(x)=5 (grau zero) e \alpha=4. Mas note que e^{4x} é solução da homogênea (porque r=4 é raiz), então tem ressonância de ordem 1 e devemos multiplicar por x^{1}. Assim escolhemos o palpite simples
y_{p}(x)=A x e^{4x},
onde A é uma constante a determinar.

Passo 5

Agora calculamos y_{p}' e y_{p}'' passo a passo. Começando por y_{p}=A x e^{4x}:
Derivando (produto):
y_{p}'=A\cdot e^{4x}+A x\cdot 4e^{4x}=A e^{4x}(1+4x).
Derivando novamente:
y_{p}''=A\cdot 4e^{4x}(1+4x)+A e^{4x}\cdot 4 = A e^{4x}\big(4(1+4x)+4\big).
Simplificando o parêntese:
4(1+4x)+4=4+16x+4=8+16x,
portanto
y_{p}''=A e^{4x}(8+16x).

Passo 6

Substituímos y_{p}, y_{p}' e y_{p}'' na equação esquerda y''-7y'+12y:
y_{p}''-7y_{p}'+12y_{p} = A e^{4x}(8+16x) -7\big(A e^{4x}(1+4x)\big) +12\big(A x e^{4x}\big).
Fatorando A e^{4x}:
= A e^{4x}\big[(8+16x)-7(1+4x)+12x\big].
Agora simplificamos o colchete:
(8+16x)-7(1+4x)+12x = 8+16x-7-28x+12x = (8-7) + (16x-28x+12x) = 1 + 0\cdot x = 1.
Logo a expressão fica
y_{p}''-7y_{p}'+12y_{p} = A e^{4x}\cdot 1 = A e^{4x}.
Para que isso seja igual ao lado direito 5e^{4x} precisamos de
A e^{4x}=5e^{4x}\quad\Rightarrow\quad A=5.

Passo 7

Encontramos uma solução particular válida: y_{p}(x)=5x e^{4x}. A solução geral da equação não-homogênea é a soma da homogênea mais a particular (princípio da superposição para equações lineares):
y(x)=y_{h}(x)+y_{p}(x)=C_{1}e^{3x}+C_{2}e^{4x}+5x e^{4x}.

Resposta

y(x)=C_{1}e^{3x}+C_{2}e^{4x}+5x e^{4x}

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