Encontre a solução geral:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
Informações dadas:
- É uma equação linear não-homogênea de segunda ordem.
- O termo não-homogêneo (forçamento) é
.
O objetivo final é obter a família de todas as soluçõesque satisfazem essa equação.
Passo 2
Primeiro vamos resolver a equação homogênea associada (ou seja, com o lado direito igual a zero):
A técnica padrão aqui é procurar soluções da forma
. Substituindo na homogênea obtemos a equação característica
Vamos resolver essa equação quadrática.
Passo 3
Resolver
usando fatoração ou fórmula quadrática. Tentamos fatorar: os números que multiplicam para
e somam
são
e
. Logo
portanto as raízes são
Como são duas raízes reais distintas, a solução geral da equação homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias (constantes de integração).
Passo 4
Agora precisamos de uma solução particular
da equação não-homogênea
Explicando a técnica escolhida (muito usada em provas): pelo método dos coeficientes a determinar, quando o termo não-homogêneo é
com
polinomial, tenta-se um palpite da forma
, onde
tem o mesmo grau de
e
é o menor inteiro não-negativo tal que
não seja solução da homogênea. Aqui
(grau zero) e
. Mas note que
é solução da homogênea (porque
é raiz), então tem ressonância de ordem
e devemos multiplicar por
. Assim escolhemos o palpite simples
onde
é uma constante a determinar.
Passo 5
Agora calculamos
e
passo a passo. Começando por
:
Derivando (produto):
Derivando (produto):
Derivando novamente:
Simplificando o parêntese:
portanto
Passo 6
Substituímos
,
e
na equação esquerda
:
Fatorando
:
Agora simplificamos o colchete:
Logo a expressão fica
Para que isso seja igual ao lado direito
precisamos de
Passo 7
Encontramos uma solução particular válida:
. A solução geral da equação não-homogênea é a soma da homogênea mais a particular (princípio da superposição para equações lineares):