O que está pedido é encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial e as duas condições iniciais em x=0.
Informações relevantes do enunciado:
A equação diferencial é de segunda ordem e linear: \,y''-y=x^{2}\,.
O termo não-homogêneo (lado direito) é o polinômio \,x^{2}\,.
As condições iniciais são \,y(0)=0\, e \,y'(0)=-1\,.]
Passo 2
Decidindo o método de solução (explicação didática e escolha):
Para equações lineares com coeficientes constantes e termo não-homogêneo que é um polinômio, uma boa opção é o método dos coeficientes indeterminados (chutar uma forma de solução particular polinomial).
Alternativas seriam variação de parâmetros ou transformadas, mas aqui o método dos coeficientes indeterminados é direto e simples porque o lado direito é um polinômio e a solução homogênea não contém polinômios (são exponenciais), então não há necessidade de multiplicar o chute por x.
Portanto vou:
Resolver a equação homogênea associada para obter a solução complementar y_h.
Determinar uma solução particular y_p como polinômio de grau 2 com coeficientes indeterminados.
Ajustar constantes com as condições iniciais.
Passo 3
Resolver a equação homogênea associada:
A equação homogênea é \,y''-y=0.
Para resolver, usamos a equação característica: suponha y=e^{rx}. Substituindo dá
r^{2}-1=0.
Resolvend o polinômio: r^{2}-1=(r-1)(r+1)=0 então r=1 ou r=-1.
Com raízes reais distintas, a solução geral da homogênea é
y_{h}(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{-x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias (a serem determinadas pelas condições iniciais).
(Explicação curta sobre porquê: a combinação linear de duas soluções independentes e^{x} e e^{-x} gera toda solução da homogênea.)
Passo 4
Chute da solução particular por coeficientes indeterminados:
O lado direito é um polinômio de grau 2, \,x^{2}. Então tentamos uma solução particular polinomial do mesmo grau:
y_{p}(x)=Ax^{2}+Bx+C,
onde A,B,C são constantes a determinar.
Observação importante (quando multiplicar por x): se o chute coincidisse com alguma solução da homogênea, seria preciso multiplicar por uma potência de x. Aqui as soluções da homogênea são exponenciais e^{\pm x}, não polinômios, então o chute acima é adequado sem multiplicação adicional.
Passo 5
Calcular derivadas de y_{p} e substituir na equação:
Derivadas de y_{p}:
y_{p}'(x)=2Ax+B, \qquad y_{p}''(x)=2A.
Substituindo em \,y''-y=x^{2}\,:
y_{p}''-y_{p}=2A-(Ax^{2}+Bx+C).
Organizando por potências de x:
2A-Ax^{2}-Bx-C = x^{2}.
Reescrevendo como igualdade de polinômios:
(-A)x^{2}+(-B)x+(2A-C)=1\cdot x^{2}+0\cdot x+0.
Igualando coeficientes termo a termo:
Para x^{2}: -A=1 \Rightarrow A=-1.
Para x: -B=0 \Rightarrow B=0.
Para termo constante: 2A-C=0 \Rightarrow C=2A.
Com A=-1 obtemos C=2(-1)=-2.
Portanto a solução particular encontrada é
y_{p}(x)=-x^{2}-2.
Passo 6
Escrever a solução geral e aplicar as condições iniciais:
Somando as duas equações: 2C_{1}=1\Rightarrow C_{1}=\dfrac{1}{2}.\]
Substituindo em \(C_{1}+C_{2}=2: \dfrac{1}{2}+C_{2}=2\Rightarrow C_{2}=\dfrac{3}{2}.]
Passo 7
Escrever a solução final com as constantes encontradas e fazer uma verificação rápida das condições: