Resolva o PVI
\left\{\begin{array}{c} y^{\prime \prime}-y=x^{2} \\ y(0)=0 \\ y^{\prime}(0)=-1 \end{array}\right.

Passo 1

O problema fornece o problema de valor inicial (PVI):
\left\{\begin{array}{l} y''-y=x^{2},\\[4pt] y(0)=0,\\[4pt] y'(0)=-1. \end{array}\right.
O que está pedido é encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial e as duas condições iniciais em x=0.
Informações relevantes do enunciado:
  • A equação diferencial é de segunda ordem e linear: \,y''-y=x^{2}\,.
  • O termo não-homogêneo (lado direito) é o polinômio \,x^{2}\,.
  • As condições iniciais são \,y(0)=0\, e \,y'(0)=-1\,.]

Passo 2

Decidindo o método de solução (explicação didática e escolha):
  • Para equações lineares com coeficientes constantes e termo não-homogêneo que é um polinômio, uma boa opção é o método dos coeficientes indeterminados (chutar uma forma de solução particular polinomial).
  • Alternativas seriam variação de parâmetros ou transformadas, mas aqui o método dos coeficientes indeterminados é direto e simples porque o lado direito é um polinômio e a solução homogênea não contém polinômios (são exponenciais), então não há necessidade de multiplicar o chute por x.
    Portanto vou:
  1. Resolver a equação homogênea associada para obter a solução complementar y_h.
  2. Determinar uma solução particular y_p como polinômio de grau 2 com coeficientes indeterminados.
  3. Ajustar constantes com as condições iniciais.

Passo 3

Resolver a equação homogênea associada:
  • A equação homogênea é \,y''-y=0.
  • Para resolver, usamos a equação característica: suponha y=e^{rx}. Substituindo dá
r^{2}-1=0.
  • Resolvend o polinômio: r^{2}-1=(r-1)(r+1)=0 então r=1 ou r=-1.
  • Com raízes reais distintas, a solução geral da homogênea é
y_{h}(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{-x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias (a serem determinadas pelas condições iniciais).
(Explicação curta sobre porquê: a combinação linear de duas soluções independentes e^{x} e e^{-x} gera toda solução da homogênea.)

Passo 4

Chute da solução particular por coeficientes indeterminados:
  • O lado direito é um polinômio de grau 2, \,x^{2}. Então tentamos uma solução particular polinomial do mesmo grau:
y_{p}(x)=Ax^{2}+Bx+C,
onde A,B,C são constantes a determinar.
  • Observação importante (quando multiplicar por x): se o chute coincidisse com alguma solução da homogênea, seria preciso multiplicar por uma potência de x. Aqui as soluções da homogênea são exponenciais e^{\pm x}, não polinômios, então o chute acima é adequado sem multiplicação adicional.

Passo 5

Calcular derivadas de y_{p} e substituir na equação:
  • Derivadas de y_{p}:
y_{p}'(x)=2Ax+B, \qquad y_{p}''(x)=2A.
  • Substituindo em \,y''-y=x^{2}\,:
y_{p}''-y_{p}=2A-(Ax^{2}+Bx+C).
Organizando por potências de x:
2A-Ax^{2}-Bx-C = x^{2}.
Reescrevendo como igualdade de polinômios:
(-A)x^{2}+(-B)x+(2A-C)=1\cdot x^{2}+0\cdot x+0.
  • Igualando coeficientes termo a termo:
    • Para x^{2}: -A=1 \Rightarrow A=-1.
    • Para x: -B=0 \Rightarrow B=0.
    • Para termo constante: 2A-C=0 \Rightarrow C=2A.
  • Com A=-1 obtemos C=2(-1)=-2.
Portanto a solução particular encontrada é
y_{p}(x)=-x^{2}-2.

Passo 6

Escrever a solução geral e aplicar as condições iniciais:
  • Solução geral da equação não-homogênea:
y(x)=y_{h}(x)+y_{p}(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{-x}-x^{2}-2.
  • Derivada:
y'(x)=C_{1}e^{x}-C_{2}e^{-x}-2x.
  • Aplicar y(0)=0\): \[y(0)=C_{1}+C_{2}-0-2=0 \quad\Rightarrow\quad C_{1}+C_{2}=2.
  • Aplicar y'(0)=-1:
y'(0)=C_{1}-C_{2}-0=-1 \quad\Rightarrow\quad C_{1}-C_{2}=-1.
  • Resolver o sistema linear
\begin{cases} C_{1}+C_{2}=2,\\[4pt] C_{1}-C_{2}=-1. \end{cases}
Somando as duas equações: 2C_{1}=1\Rightarrow C_{1}=\dfrac{1}{2}.\] Substituindo em \(C_{1}+C_{2}=2: \dfrac{1}{2}+C_{2}=2\Rightarrow C_{2}=\dfrac{3}{2}.]

Passo 7

Escrever a solução final com as constantes encontradas e fazer uma verificação rápida das condições:
  • A solução que satisfaz o PVI é
y(x)=\tfrac{1}{2}e^{x}+\tfrac{3}{2}e^{-x}-x^{2}-2.
  • Verificações rápidas:
    • Em x=0: y(0)=\tfrac{1}{2}+\tfrac{3}{2}-0-2=0 (ok).
    • Derivando e avaliando em 0: y'(x)=\tfrac{1}{2}e^{x}-\tfrac{3}{2}e^{-x}-2x, então y'(0)=\tfrac{1}{2}-\tfrac{3}{2}-0=-1 (ok).
    • Substituição na equação diferencial também confere por construção (já usamos a igualdade para determinar y_{p}).

Resposta

y(x)=\tfrac{1}{2}e^{x}+\tfrac{3}{2}e^{-x}-x^{2}-2

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