Encontre a solução particular das EDO’s:
3 y^{4}+2 y^{\prime \prime \prime}+y^{\prime \prime}-y^{\prime}+4 y=2 t^{2}+1

Passo 1

O enunciado pede a solução particular da equação diferencial ordinária dada. Vou escrever claramente o que temos (assumindo que 3 y^{4} no enunciado representa a derivada de ordem quatro, isto é 3y^{(4)}):
A equação é
3 y^{(4)} + 2 y^{(3)} + y'' - y' + 4y = 2 t^{2} + 1.
O que o enunciado pede:
  • Encontrar uma solução particular y_{p}(t) que satisfaça a equação acima (não é pedido resolver a homogênea).
Informações relevantes:
  • O lado direito é um polinômio de grau 2: 2t^{2}+1.
  • A equação é linear com coeficientes constantes.
  • Para aplicar o método dos coeficientes a determinar, precisamos verificar se 0 (raiz r=0) é raiz do polinômio característico da homogênea, porque isso influencia o tipo de palpite para y_{p}.

Passo 2

Vou verificar se r=0 é raiz do polinômio característico da parte homogênea. O polinômio característico associado é
3 r^{4} + 2 r^{3} + r^{2} - r + 4.
Substituindo r=0 obtenho
3\cdot0^{4}+2\cdot0^{3}+0^{2}-0+4 = 4 \neq 0.
Como r=0 não é raiz, não existe conflito de multiplicidade com o termo polinomial do lado direito. Portanto, pelo método dos coeficientes a determinar, podemos tomar um palpite para y_{p} como um polinômio de grau 2.

Passo 3

Formulo o palpite para a solução particular como um polinômio genérico de grau 2:
y_{p}(t)=A t^{2}+B t + C,
onde A,B,C são constantes a determinar.
Agora calculo as derivadas necessárias (mostrando cada passo):
y_{p}'(t)=2A t + B,
y_{p}''(t)=2A,
y_{p}^{(3)}(t)=0,
y_{p}^{(4)}(t)=0.

Passo 4

Substituo y_{p} e suas derivadas na equação diferencial. Lembrando a equação:
3 y^{(4)} + 2 y^{(3)} + y'' - y' + 4y = 2 t^{2} + 1.
Substituição (cada termo):
  • 3 y_{p}^{(4)} = 3\cdot 0 = 0.
  • 2 y_{p}^{(3)} = 2\cdot 0 = 0.
  • y_{p}'' = 2A.
  • -y_{p}' = -(2A t + B) = -2A t - B.
  • 4 y_{p} = 4(A t^{2} + B t + C) = 4A t^{2} + 4B t + 4C.
Somando todos os termos do lado esquerdo:
(0) + (0) + 2A + (-2A t - B) + (4A t^{2} + 4B t + 4C).
Agrupando por potências de t:
\text{coeficiente de }t^{2}:\quad 4A,
\text{coeficiente de }t^{1}:\quad -2A + 4B,
\text{termo independente }(t^{0}):\quad 2A - B + 4C.
Portanto a substituição dá a expressão polinomial
4A t^{2} + (-2A + 4B) t + (2A - B + 4C).

Passo 5

Igualo essa expressão ao lado direito 2 t^{2} + 1 e igualo coeficientes de cada potência de t:
Para t^{2}:
4A = 2 \quad\Rightarrow\quad A = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}.
Para t^{1}:
-2A + 4B = 0.
Substituindo A=\tfrac{1}{2}:
-2\cdot\frac{1}{2} + 4B = 0 \quad\Rightarrow\quad -1 + 4B = 0 \quad\Rightarrow\quad B = \frac{1}{4}.
Para o termo constante:
2A - B + 4C = 1.
Substituindo A=\tfrac{1}{2} e B=\tfrac{1}{4}:
2\cdot\frac{1}{2} - \frac{1}{4} + 4C = 1 \quad\Rightarrow\quad 1 - \frac{1}{4} + 4C = 1.
Isso simplifica para
-\frac{1}{4} + 4C = 0 \quad\Rightarrow\quad 4C = \frac{1}{4} \quad\Rightarrow\quad C = \frac{1}{16}.

Passo 6

Concluo os valores das constantes e escrevo a solução particular encontrada:
A=\frac{1}{2},\qquad B=\frac{1}{4},\qquad C=\frac{1}{16}.
Assim a solução particular é
y_{p}(t)=\frac{1}{2}t^{2}+\frac{1}{4}t+\frac{1}{16}.

Resposta

y_{p}(t)=\frac{1}{2}t^{2}+\frac{1}{4}t+\frac{1}{16}

Exercícios relacionados