Encontre a solução particular das EDO’s:
Passo 1
O enunciado pede a solução particular da equação diferencial ordinária dada. Vou escrever claramente o que temos (assumindo que
no enunciado representa a derivada de ordem quatro, isto é
):
A equação é
O que o enunciado pede:
- Encontrar uma solução particular
que satisfaça a equação acima (não é pedido resolver a homogênea).
Informações relevantes:
- O lado direito é um polinômio de grau
: . - A equação é linear com coeficientes constantes.
- Para aplicar o método dos coeficientes a determinar, precisamos verificar se
(raiz ) é raiz do polinômio característico da homogênea, porque isso influencia o tipo de palpite para .
Passo 2
Vou verificar se
é raiz do polinômio característico da parte homogênea. O polinômio característico associado é
Substituindo
obtenho
Como
não é raiz, não existe conflito de multiplicidade com o termo polinomial do lado direito. Portanto, pelo método dos coeficientes a determinar, podemos tomar um palpite para
como um polinômio de grau
.
Passo 3
Formulo o palpite para a solução particular como um polinômio genérico de grau
:
onde
são constantes a determinar.
Agora calculo as derivadas necessárias (mostrando cada passo):
Passo 4
Substituo
e suas derivadas na equação diferencial. Lembrando a equação:
Substituição (cada termo):
-
. -
. -
. -
. -
.
Somando todos os termos do lado esquerdo:
Agrupando por potências de
:
Portanto a substituição dá a expressão polinomial
Passo 5
Igualo essa expressão ao lado direito
e igualo coeficientes de cada potência de
:
Para
:
Para
:
Substituindo
:
Para o termo constante:
Substituindo
e
:
Isso simplifica para
Passo 6
Concluo os valores das constantes e escrevo a solução particular encontrada:
Assim a solução particular é