Exercício 13. Considere
\left\{\begin{array}{l} -y^{\prime \prime}(x)=x, \quad x \in(0, L) \\\ y(0)=1, \quad y(L)=0 \end{array}\right.
Resolva o problema utilizando a decomposição y(x)=v(x)+\varphi(x).

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial no intervalo (0,L) com condições de contorno:
-y^{\prime\prime}(x)=x,\qquad x\in(0,L),
y(0)=1,\qquad y(L)=0.
Pede-se resolver o problema usando a decomposição y(x)=v(x)+\varphi(x). As informações relevantes são:
  • a equação diferencial de segunda ordem e o termo fonte x;
  • as condições de contorno em x=0 e x=L;
  • a decomposição y=v+\varphi deve ser usada (ou seja, escrever y como soma de duas funções).

Passo 2

Escolher \varphi(x). A ideia prática desta decomposição é pegar \varphi que satisfaça as condições de contorno de y, para que v fique com condições homogêneas (zero) e aí a equação para v seja mais simples de resolver. Como as condições são valores em dois pontos, a escolha mais simples é uma função afim (reta) que cumpra
\varphi(0)=1,\qquad \varphi(L)=0.
Uma afim que faz isso é
\varphi(x)=1-\frac{x}{L}.
Explicação rápida: uma reta que vale 1 em x=0 e 0 em x=L tem declive -1/L, logo \varphi(x)=1-(x/L).

Passo 3

Calcular as derivadas de \varphi. Como \varphi é linear, sua segunda derivada é zero:
\varphi''(x)=0.

Passo 4

Obter a equação para v. Substituindo y=v+\varphi na equação original:
-(v+\varphi)''(x)=x \quad\Longrightarrow\quad -v''(x)-\varphi''(x)=x.
Como \varphi''(x)=0, obtemos
-v''(x)=x \quad\Longrightarrow\quad v''(x)=-x.
As condições de contorno para v vêm de v(x)=y(x)-\varphi(x). Como \varphi(0)=1 e \varphi(L)=0,
v(0)=y(0)-\varphi(0)=1-1=0,\qquad v(L)=y(L)-\varphi(L)=0-0=0.
Portanto v satisfaz condições homogêneas v(0)=v(L)=0.

Passo 5

Resolver a equação para v integrando duas vezes. Partimos de
v''(x)=-x.
Integramos uma vez em x (integral indefinida), lembrando de introduzir uma constante de integração C_1:
v'(x)=\int -x\,dx = -\frac{x^2}{2}+C_1.
Integramos novamente e introduzimos outra constante C_2:
v(x)=\int \left(-\frac{x^2}{2}+C_1\right)dx = -\frac{x^3}{6}+C_1 x + C_2.
Observação sobre integrais: integrar uma função significa encontrar outra cuja derivada seja a função dada; cada integração indefinida acrescenta uma constante arbitrária.

Passo 6

Aplicar as condições de contorno de v para determinar C_1 e C_2.
Da condição v(0)=0:
v(0) = -\frac{0^3}{6}+C_1\cdot0 + C_2 = C_2 = 0.
Logo C_2=0.
Da condição v(L)=0:
v(L) = -\frac{L^3}{6} + C_1 L + 0 = 0 \quad\Longrightarrow\quad C_1 L = \frac{L^3}{6}.
Como L\neq 0 (caso degenerado), divide-se por L e obtém-se
C_1 = \frac{L^2}{6}.

Passo 7

Escrever v(x) com as constantes encontradas. Substituindo C_1 e C_2 em
v(x)=-\frac{x^3}{6}+C_1 x + C_2,
obtemos
v(x)=-\frac{x^3}{6}+\frac{L^2}{6}\,x.
Podemos factorar x se quisermos:
v(x)=\frac{x}{6}\bigl(L^2-x^2\bigr).

Passo 8

Obter a solução y(x) somando v e \varphi:
y(x)=v(x)+\varphi(x)=\left(-\frac{x^3}{6}+\frac{L^2}{6}\,x\right)+\left(1-\frac{x}{L}\right).
Organizando:
y(x)=1-\frac{x}{L}+\frac{L^2 x}{6}-\frac{x^3}{6}.
Ou, de forma compacta:
y(x)=1-\frac{x}{L}+\frac{x}{6}\bigl(L^2-x^2\bigr).

Passo 9

Verificação rápida (para nos dar segurança): calcular y''. Como \varphi''=0 e v''(x)=-x, tem-se y''(x)=-x. Logo
-y''(x)=x,
que coincide com a equação original. Verificar as condições de contorno:
y(0)=1-\frac{0}{L}+\frac{0}{6}\bigl(L^2-0\bigr)=1,
y(L)=1-\frac{L}{L}+\frac{L}{6}\bigl(L^2-L^2\bigr)=1-1+0=0.
Portanto a solução encontrada satisfaz a equação diferencial e as duas condições de contorno.

Resposta

y(x)=1-\frac{x}{L}+\frac{L^2 x}{6}-\frac{x^3}{6}.

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