Exercício 13. Considere
Resolva o problema utilizando a decomposição
.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial no intervalo
com condições de contorno:
Pede-se resolver o problema usando a decomposição
. As informações relevantes são:
- a equação diferencial de segunda ordem e o termo fonte
; - as condições de contorno em
e ; - a decomposição
deve ser usada (ou seja, escrever como soma de duas funções).
Passo 2
Escolher
. A ideia prática desta decomposição é pegar
que satisfaça as condições de contorno de
, para que
fique com condições homogêneas (zero) e aí a equação para
seja mais simples de resolver. Como as condições são valores em dois pontos, a escolha mais simples é uma função afim (reta) que cumpra
Uma afim que faz isso é
Explicação rápida: uma reta que vale
em
e
em
tem declive
, logo
.
Passo 3
Calcular as derivadas de
. Como
é linear, sua segunda derivada é zero:
Passo 4
Obter a equação para
. Substituindo
na equação original:
Como
, obtemos
As condições de contorno para
vêm de
. Como
e
,
Portanto
satisfaz condições homogêneas
.
Passo 5
Resolver a equação para
integrando duas vezes. Partimos de
Integramos uma vez em
(integral indefinida), lembrando de introduzir uma constante de integração
:
Integramos novamente e introduzimos outra constante
:
Observação sobre integrais: integrar uma função significa encontrar outra cuja derivada seja a função dada; cada integração indefinida acrescenta uma constante arbitrária.
Passo 6
Aplicar as condições de contorno de
para determinar
e
.
Da condição :
Da condição
Logo
.
Da condição
:
Como
(caso degenerado), divide-se por
e obtém-se
Passo 7
Escrever
com as constantes encontradas. Substituindo
e
em
obtemos
Podemos factorar
se quisermos:
Passo 8
Obter a solução
somando
e
:
Organizando:
Ou, de forma compacta:
Passo 9
Verificação rápida (para nos dar segurança): calcular
. Como
e
, tem-se
. Logo
que coincide com a equação original. Verificar as condições de contorno:
Portanto a solução encontrada satisfaz a equação diferencial e as duas condições de contorno.