Encontre a solução particular da EDO:
g^{\prime \prime}-16 g=f(x)

Passo 1

O que o enunciado pede: encontrar uma solução particular da equação diferencial ordinária
g''-16g=f(x).
Informações dadas:
  • A equação é linear, de segunda ordem, com coeficientes constantes.
  • A função f(x) é dada de forma geral (não especificada): queremos uma expressão de g_p(x) em função de f.
  • Não foram dadas condições iniciais ou de contorno (logo procuramos uma solução particular genérica, válida até somar soluções homogêneas).

Passo 2

Primeiro passo técnico importante: resolver a equação homogênea associada, porque a teoria de métodos para encontrar a solução particular usa essas soluções fundamentais. A equação homogênea é
g''-16g=0.
Procuramos soluções da forma g(x)=e^{rx}. Substituindo,
r^2-16=0.
As raízes são r=\pm 4. Portanto duas soluções linearly independentes (fundamentais) são
y_1(x)=e^{4x},\qquad y_2(x)=e^{-4x}.
Qualquer solução da homogênea é combinação linear
g_h(x)=C_1 e^{4x}+C_2 e^{-4x}.

Passo 3

Agora a técnica para construir uma solução particular quando a equação é linear com coeficientes constantes e o lado direito é uma função qualquer f(x): variação de constantes (variação de parâmetros). A ideia: procurar uma solução particular da forma
g_p(x)=u_1(x)y_1(x)+u_2(x)y_2(x),
onde u_1,u_2 são funções a determinar (em vez de constantes). Impomos a condição adicional usual para simplificar cálculos:
u_1'(x)y_1(x)+u_2'(x)y_2(x)=0.
Com isso, ao substituir em g''-16g=f(x), obtemos o sistema linear para u_1' e u_2':
\begin{cases} u_1'(x)y_1(x)+u_2'(x)y_2(x)=0,\\[4pt] u_1'(x)y_1'(x)+u_2'(x)y_2'(x)=f(x). \end{cases}]

Passo 4

Resolvendo o sistema para u_1' e u_2' usamos o Wronskiano W(x) das soluções fundamentais. Definição do Wronskiano:
W(x)=\begin{vmatrix} y_1(x) & y_2(x)\\\ y_1'(x) & y_2'(x)\end{vmatrix}.
Calculando com y_1=e^{4x}, y_2=e^{-4x}:
W(x)=e^{4x}\cdot(-4e^{-4x}) - (4e^{4x})\cdot e^{-4x} = -4-4=-8.
Portanto W(x)=-8 (constante). As fórmulas da variação de parâmetros dão
u_1'(x) = -\frac{y_2(x)\,f(x)}{W(x)},\qquad u_2'(x) = \frac{y_1(x)\,f(x)}{W(x)}.
Substituindo y_1,y_2,W,
u_1'(x) = -\frac{e^{-4x} f(x)}{-8} = \frac{e^{-4x} f(x)}{8}, \qquad u_2'(x) = \frac{e^{4x} f(x)}{-8} = -\frac{e^{4x} f(x)}{8}.

Passo 5

Integrando u_1' e u_2' obtemos u_1,u_2. Podemos escolher um ponto de referência (constante de integração) qualquer; mudar esse ponto só acrescenta soluções homogêneas. Para fixar uma solução particular concreta, escolhemos integrar de 0 até x. Assim
u_1(x)=\int_{0}^{x} \frac{e^{-4s} f(s)}{8}\,ds, \qquad u_2(x)=\int_{0}^{x} -\frac{e^{4s} f(s)}{8}\,ds = -\int_{0}^{x}\frac{e^{4s} f(s)}{8}\,ds.
Agora montamos g_p(x)=u_1(x)e^{4x}+u_2(x)e^{-4x}. Substituindo:
g_p(x)=e^{4x}\left(\int_{0}^{x}\frac{e^{-4s} f(s)}{8}\,ds\right) - e^{-4x}\left(\int_{0}^{x}\frac{e^{4s} f(s)}{8}\,ds\right).
Fatorando \tfrac{1}{8},
g_p(x)=\frac{1}{8}\left(e^{4x}\int_{0}^{x} e^{-4s} f(s)\,ds - e^{-4x}\int_{0}^{x} e^{4s} f(s)\,ds\right).
Essa expressão é uma solução particular da equação dada (se você adicionasse constantes de integração diferentes, obteria a solução geral somando a homogênea).

Passo 6

Comentário adicional (sempre útil na prova): a expressão acima pode ser reescrita de outra forma equivalente usando a função de Green (núcleo do operador). Se f satisfaz hipóteses de decaimento adequadas, uma forma convolucional é
g_p(x)=-\frac{1}{8}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-4|x-s|} f(s)\,ds,
que é a convolução g_p=G*f com G(t)=-\tfrac{1}{8}e^{-4|t|}. As duas fórmulas são equivalentes até adição de soluções homogêneas dependendo das escolhas das integrais.

Passo 7

Exemplo rápido para fixar a ideia (faça na prova para ganhar confiança): se f(x)=e^{2x}, calcule cada integral explicitamente sem calculadora:
\int_{0}^{x} e^{-4s} e^{2s}\,ds=\int_{0}^{x} e^{-2s}\,ds=\left[-\tfrac{1}{2}e^{-2s}\right]_0^{x}=\tfrac{1}{2}\big(1-e^{-2x}\big),
\int_{0}^{x} e^{4s} e^{2s}\,ds=\int_{0}^{x} e^{6s}\,ds=\left[\tfrac{1}{6}e^{6s}\right]_0^{x}=\tfrac{1}{6}\big(e^{6x}-1\big).
Substituindo na fórmula de g_p obtém-se um resultado com exponenciais simples — essa é a rotina que você repetirá na prova para f polinomial/exponencial/seno/cosseno.

Resposta

g_p(x)=\frac{1}{8}\left(e^{4x}\int_{0}^{x} e^{-4s} f(s)\,ds - e^{-4x}\int_{0}^{x} e^{4s} f(s)\,ds\right)

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