Encontre a solução do PVI abaixo:
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial (PVI)
O que é pedido é encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais. As informações relevantes são:
- A equação é linear, de segunda ordem, com coeficientes constantes.
- O termo não-homogêneo (lado direito) é
, isto é, um polinômio de grau 1 multiplicado por . - As condições iniciais são
e .
Passo 2
Escolhemos o método de solução padrão para EDO linear com coeficientes constantes:
- Resolver a equação homogênea associada para obter
. - Encontrar uma solução particular
da equação completa (usaremos coeficientes a determinar — método dos coeficientes determinados), justificando a forma do palpite para . - Montar a solução geral
e usar as condições iniciais para determinar as constantes.
Justificativa do palpite para
: o termo do lado direito é um polinômio de grau 1 vezes
. Como
não corresponde a nenhuma raiz da equação característica da homogênea (veremos), podemos tentar
da forma
.
Passo 3
Resolver a equação homogênea associada:
Procuramos soluções da forma
. Substituindo obtemos a equação característica
Fatorando,
logo as raízes são
e
. Portanto a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 4
Agora buscamos uma solução particular. Pelo raciocínio do Passo 2, tomamos o palpite
onde
e
são constantes a determinar. Vamos calcular
e
passo a passo.
Primeiro, derive
:
Usando a regra do produto,
Colocando em forma fatorada:
Agora
: derive
. A derivada do coeficiente
é
. Aplicando novamente a regra do produto,
Fatorando
e simplificando:
Passo 5
Substituímos
e
na equação
. Calculamos o lado esquerdo para
:
Fatorando
e agrupando termos:
Simplificando coeficientes:
Esse resultado deve ser igual ao lado direito
. Igualando coeficientes do polinômio multiplicando
obtemos o sistema
Da primeira equação vem
. Substituindo na segunda:
Portanto a solução particular é
Passo 6
A solução geral da equação completa é a soma da homogênea com a particular:
Agora aplicamos as condições iniciais para determinar
e
.
Primeira condição:
. Avaliando em
,
Igualando a
:
Passo 7
Segunda condição:
. Precisamos de
. Derivando a solução geral:
- Derivada de
é . - Derivada de
é . - Derivada de
já calculada no Passo 4 (com ) foi . (Opcional: calcular direto: .)
Logo
Avaliando em
:
Igualando a
:
Passo 8
Com
e da equação
, obtemos
Portanto a solução determinada é