Encontre a solução do PVI abaixo:
4 y^{\prime \prime}-y^{\prime}=x e^{\frac{x}{2}}, \quad y(0)=1, \quad y^{\prime}(0)=0

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial (PVI)
4y''-y' = x e^{\frac{x}{2}},\qquad y(0)=1,\qquad y'(0)=0.
O que é pedido é encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais. As informações relevantes são:
  • A equação é linear, de segunda ordem, com coeficientes constantes.
  • O termo não-homogêneo (lado direito) é x e^{\frac{x}{2}}, isto é, um polinômio de grau 1 multiplicado por e^{\frac{x}{2}}.
  • As condições iniciais são y(0)=1 e y'(0)=0.

Passo 2

Escolhemos o método de solução padrão para EDO linear com coeficientes constantes:
  1. Resolver a equação homogênea associada para obter y_h.
  2. Encontrar uma solução particular y_p da equação completa (usaremos coeficientes a determinar — método dos coeficientes determinados), justificando a forma do palpite para y_p.
  3. Montar a solução geral y=y_h+y_p e usar as condições iniciais para determinar as constantes.
Justificativa do palpite para y_p: o termo do lado direito é um polinômio de grau 1 vezes e^{\frac{x}{2}}. Como e^{\frac{x}{2}} não corresponde a nenhuma raiz da equação característica da homogênea (veremos), podemos tentar y_p da forma (Ax+B)e^{\frac{x}{2}}.

Passo 3

Resolver a equação homogênea associada:
4y''-y'=0.
Procuramos soluções da forma y=e^{rx}. Substituindo obtemos a equação característica
4r^2 - r = 0.
Fatorando,
r(4r-1)=0,
logo as raízes são r_1=0 e r_2=\tfrac{1}{4}. Portanto a solução geral da homogênea é
y_h = C_1 + C_2 e^{\frac{x}{4}},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

Passo 4

Agora buscamos uma solução particular. Pelo raciocínio do Passo 2, tomamos o palpite
y_p = (a x + b)\, e^{\frac{x}{2}},
onde a e b são constantes a determinar. Vamos calcular y_p' e y_p'' passo a passo.
Primeiro, derive y_p:
y_p = (a x + b)e^{\frac{x}{2}}.
Usando a regra do produto,
y_p' = a e^{\frac{x}{2}} + (a x + b)\cdot\frac{1}{2}e^{\frac{x}{2}}.
Colocando em forma fatorada:
y_p' = \Bigl(\tfrac{a}{2}x + \bigl(a+\tfrac{b}{2}\bigr)\Bigr) e^{\frac{x}{2}}.
Agora y_p'': derive y_p'. A derivada do coeficiente \tfrac{a}{2}x + (a+\tfrac{b}{2}) é \tfrac{a}{2}. Aplicando novamente a regra do produto,
y_p'' = \Bigl(\tfrac{a}{2}\Bigr)e^{\frac{x}{2}} + \Bigl(\tfrac{a}{2}x + \bigl(a+\tfrac{b}{2}\bigr)\Bigr)\cdot\frac{1}{2}e^{\frac{x}{2}}.
Fatorando e^{\frac{x}{2}} e simplificando:
y_p'' = \Bigl(\tfrac{a}{4}x + \bigl(a+\tfrac{b}{4}\bigr)\Bigr) e^{\frac{x}{2}}.

Passo 5

Substituímos y_p' e y_p'' na equação 4y''-y' = x e^{\frac{x}{2}}. Calculamos o lado esquerdo para y_p:
4y_p'' - y_p' = 4\Bigl(\tfrac{a}{4}x + \bigl(a+\tfrac{b}{4}\bigr)\Bigr) e^{\frac{x}{2}} - \Bigl(\tfrac{a}{2}x + \bigl(a+\tfrac{b}{2}\bigr)\Bigr) e^{\frac{x}{2}}.
Fatorando e^{\frac{x}{2}} e agrupando termos:
4y_p'' - y_p' = \Bigl(\bigl(a - \tfrac{a}{2}\bigr)x + \bigl(4a + b - a - \tfrac{b}{2}\bigr)\Bigr)e^{\frac{x}{2}}.
Simplificando coeficientes:
4y_p'' - y_p' = \Bigl(\tfrac{a}{2}x + \bigl(3a + \tfrac{b}{2}\bigr)\Bigr)e^{\frac{x}{2}}.
Esse resultado deve ser igual ao lado direito x e^{\frac{x}{2}}. Igualando coeficientes do polinômio multiplicando e^{\frac{x}{2}} obtemos o sistema
\tfrac{a}{2} = 1,\qquad 3a + \tfrac{b}{2} = 0.
Da primeira equação vem a = 2. Substituindo na segunda:
3\cdot 2 + \tfrac{b}{2} = 0 \implies 6 + \tfrac{b}{2} = 0 \implies b = -12.
Portanto a solução particular é
y_p = (2x - 12) e^{\frac{x}{2}}.

Passo 6

A solução geral da equação completa é a soma da homogênea com a particular:
y(x) = C_1 + C_2 e^{\frac{x}{4}} + (2x - 12)e^{\frac{x}{2}}.
Agora aplicamos as condições iniciais para determinar C_1 e C_2.
Primeira condição: y(0)=1. Avaliando em x=0,
y(0) = C_1 + C_2 + (2\cdot 0 - 12)\cdot 1 = C_1 + C_2 - 12.
Igualando a 1:
C_1 + C_2 - 12 = 1 \implies C_1 + C_2 = 13.

Passo 7

Segunda condição: y'(0)=0. Precisamos de y'(x). Derivando a solução geral:
  • Derivada de C_1 é 0.
  • Derivada de C_2 e^{\frac{x}{4}} é \tfrac{C_2}{4} e^{\frac{x}{4}}.
  • Derivada de (2x-12)e^{\frac{x}{2}} já calculada no Passo 4 (com a=2,b=-12) foi (x-4)e^{\frac{x}{2}}. (Opcional: calcular direto: 2e^{x/2}+(2x-12)\tfrac{1}{2}e^{x/2}=(x-4)e^{x/2}.)
Logo
y'(x) = \tfrac{C_2}{4} e^{\frac{x}{4}} + (x-4)e^{\frac{x}{2}}.
Avaliando em x=0:
y'(0) = \tfrac{C_2}{4} + (0-4)\cdot 1 = \tfrac{C_2}{4} - 4.
Igualando a 0:
\tfrac{C_2}{4} - 4 = 0 \implies \tfrac{C_2}{4} = 4 \implies C_2 = 16.

Passo 8

Com C_2=16 e da equação C_1 + C_2 = 13, obtemos
C_1 = 13 - 16 = -3.
Portanto a solução determinada é
y(x) = -3 + 16 e^{\frac{x}{4}} + (2x - 12)e^{\frac{x}{2}}.

Resposta

y(x) = -3 + 16 e^{\frac{x}{4}} + (2x - 12)e^{\frac{x}{2}}

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