Resolva a EDO:
x^{2} y^{\prime \prime}+x y^{\prime}+\frac{4}{25}=0 \quad y=x^{m}

Passo 1

O enunciado dá a equação
x^{2}y'' + x y' + \frac{4}{25} = 0
e indica tentar uma solução da forma \;y=x^{m}\;. Observação importante: com o termo constante \frac{4}{25} (sem y) a tentativa \;y=x^{m}\; não gera uma identidade para todo x — isto é, não há m que faça a igualdade valer para todo x. Portanto vou assumir que o enunciado pretendia o caso clássico de equação de Euler–Cauchy, ou seja, a equação correta é
x^{2}y'' + x y' + \frac{4}{25}\,y = 0,
que é compatível com a sugestão y=x^{m}. Vou resolver essa equação assumida (não perguntei nada porque você pediu para eu fazer a resolução direto).

Passo 2

Explico a ideia da tentativa y=x^{m} e calculo derivadas passo a passo.
Motivação curta: para equações do tipo \;x^{2}y''+ax y'+by=0\; é natural tentar soluções do tipo potência y=x^{m} porque derivadas de x^{m} mantêm a forma x^{m-1},x^{m-2} e os fatores x^{2} e x alinham as potências, permitindo obter uma condição sobre m.
Agora calculemos as derivações de \;y=x^{m}\;:
y = x^{m},
y' = m x^{m-1},
y'' = m(m-1)x^{m-2}.
Substituindo essas expressões na equação assumida \;x^{2}y'' + x y' + \frac{4}{25}y = 0\; obtemos:
x^{2}\big(m(m-1)x^{m-2}\big)+x\big(m x^{m-1}\big)+\frac{4}{25}x^{m}=0.
Simplificando cada termo (note que x^{2}\cdot x^{m-2}=x^{m} e x\cdot x^{m-1}=x^{m}):
\big(m(m-1)+m+\tfrac{4}{25}\big)x^{m}=0.
Agrupando os termos em m:
\big(m^{2}+\tfrac{4}{25}\big)x^{m}=0.

Passo 3

Como buscamos soluções não triviais com x^{m}\neq 0 (em geral x\neq 0), podemos dividir por x^{m} e obter a equação característica para m:
m^{2}+\frac{4}{25}=0.
Resolvendo:
m^{2}=-\frac{4}{25}\quad\Rightarrow\quad m=\pm i\frac{2}{5}.
Ou seja, as raízes são complexas conjugadas m=\alpha\pm i\beta com \alpha=0 e \beta=\tfrac{2}{5}.
Agora uma mini-aula sobre o que fazer com raízes complexas: se a equação de Euler tem raízes m=\alpha\pm i\beta, lembramos que
x^{m}=e^{m\ln x}=e^{\alpha\ln x}e^{i\beta\ln x}=x^{\alpha}\big(\cos(\beta\ln x)+i\sin(\beta\ln x)\big).
As soluções complexas geram duas soluções reais linearmente independentes dadas por as partes real e imaginária:
x^{\alpha}\cos(\beta\ln x),\qquad x^{\alpha}\sin(\beta\ln x).
(Exemplo rápido: se m=1\pm i então as soluções reais são x\cos(\ln x) e x\sin(\ln x).)

Passo 4

Aplicando isso ao nosso caso com \alpha=0 e \beta=\tfrac{2}{5}, a solução geral real da equação é
y(x)=C_{1}\cos\!\big(\tfrac{2}{5}\ln x\big)+C_{2}\sin\!\big(\tfrac{2}{5}\ln x\big),
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias. Observação sobre domínio: aqui usei \ln x, portanto essa forma está explícita para x>0. Se for preciso considerar x<0 há que usar \ln|x| e analisar paridades, mas para a maioria dos problemas de prova toma-se x>0.

Resposta

y(x)=C_{1}\cos\!\big(\tfrac{2}{5}\ln x\big)+C_{2}\sin\!\big(\tfrac{2}{5}\ln x\big)

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