Resolva a EDO:
Passo 1
O enunciado dá a equação
e indica tentar uma solução da forma
. Observação importante: com o termo constante
(sem
) a tentativa
não gera uma identidade para todo
— isto é, não há
que faça a igualdade valer para todo
. Portanto vou assumir que o enunciado pretendia o caso clássico de equação de Euler–Cauchy, ou seja, a equação correta é
que é compatível com a sugestão
. Vou resolver essa equação assumida (não perguntei nada porque você pediu para eu fazer a resolução direto).
Passo 2
Explico a ideia da tentativa
e calculo derivadas passo a passo.
Motivação curta: para equações do tipo
é natural tentar soluções do tipo potência
porque derivadas de
mantêm a forma
e os fatores
e
alinham as potências, permitindo obter uma condição sobre
.
Agora calculemos as derivações de
:
Substituindo essas expressões na equação assumida
obtemos:
Simplificando cada termo (note que
e
):
Agrupando os termos em
:
Passo 3
Como buscamos soluções não triviais com
(em geral
), podemos dividir por
e obter a equação característica para
:
Resolvendo:
Ou seja, as raízes são complexas conjugadas
com
e
.
Agora uma mini-aula sobre o que fazer com raízes complexas: se a equação de Euler tem raízes
, lembramos que
As soluções complexas geram duas soluções reais linearmente independentes dadas por as partes real e imaginária:
(Exemplo rápido: se
então as soluções reais são
e
.)
Passo 4
Aplicando isso ao nosso caso com
e
, a solução geral real da equação é
onde
e
são constantes arbitrárias. Observação sobre domínio: aqui usei
, portanto essa forma está explícita para
. Se for preciso considerar
há que usar
e analisar paridades, mas para a maioria dos problemas de prova toma-se
.