Encontre a solução particular para a EDO de um oscilador harmônico simples do sistema massa-mola, considerando os valores iniciais a seguir: constante da mola: 0,40
massa do bloco
Amplitude do movimento
Posição
.
massa do bloco
Amplitude do movimento
Posição
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de oscilador harmônico simples, que faz parte da física e das equações diferenciais. A gente precisa encontrar a solução particular para a posição do bloco em função do tempo, usando as informações que nos deram: constante da mola, massa do bloco, amplitude do movimento e a posição inicial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a equação do movimento para um sistema massa-mola, que é uma equação diferencial de segunda ordem:
Aqui, $ m $ é a massa, $ k $ é a constante da mola, e $ x(t) $ é a posição em função do tempo.
Passo 3
Vamos identificar os valores que temos:
- Massa $ m = 200 , g = 0,2 , kg $ (convertendo para kg)
- Constante da mola $ k = 0,40 , N/m $
- Amplitude $ A = 10 , cm = 0,10 , m $ (convertendo para metros)
- Posição inicial $ x(0) = 0 $
Passo 4
A solução geral da equação diferencial é:
Onde $ \omega $ é a frequência angular, dada por:
Passo 5
Vamos calcular $ \omega $:
Passo 6
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar $ A $ e $ B $.
Sabemos que $ x(0) = 0 $:
Passo 7
Também sabemos que a amplitude $ A $ é 0,10 m, que corresponde ao valor máximo de $ x(t) $. Como $ A = 0 $, a amplitude vem da parte do seno, então $ B = A = 0,10 $.
Passo 8
Substituindo $ A = 0 $ e $ B = 0,10 $ na solução geral:
Simplificando:
Resposta
A solução particular para a posição em função do tempo é: