Encontre a solução particular para a EDO de um oscilador harmônico simples do sistema massa-mola, considerando os valores iniciais a seguir: constante da mola: 0,40
massa do bloco =200 g
Amplitude do movimento =10 cm
Posição x(0)=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de oscilador harmônico simples, que faz parte da física e das equações diferenciais. A gente precisa encontrar a solução particular para a posição do bloco em função do tempo, usando as informações que nos deram: constante da mola, massa do bloco, amplitude do movimento e a posição inicial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a equação do movimento para um sistema massa-mola, que é uma equação diferencial de segunda ordem:
m d^2xdt^2 + kx = 0
Aqui, $ m $ é a massa, $ k $ é a constante da mola, e $ x(t) $ é a posição em função do tempo.

Passo 3

Vamos identificar os valores que temos:
  • Massa $ m = 200 , g = 0,2 , kg $ (convertendo para kg)
  • Constante da mola $ k = 0,40 , N/m $
  • Amplitude $ A = 10 , cm = 0,10 , m $ (convertendo para metros)
  • Posição inicial $ x(0) = 0 $

Passo 4

A solução geral da equação diferencial é:
x(t) = A cos(omega t) + B sin(omega t)
Onde $ \omega $ é a frequência angular, dada por:
omega

Passo 5

Vamos calcular $ \omega $:
omega

Passo 6

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar $ A $ e $ B $.
Sabemos que $ x(0) = 0 $:
A

Passo 7

Também sabemos que a amplitude $ A $ é 0,10 m, que corresponde ao valor máximo de $ x(t) $. Como $ A = 0 $, a amplitude vem da parte do seno, então $ B = A = 0,10 $.

Passo 8

Substituindo $ A = 0 $ e $ B = 0,10 $ na solução geral:
A = 0
Simplificando:
B = 0,10

Resposta

A solução particular para a posição em função do tempo é:
x(t) = 0,10 sin(1,414 , t) , metros

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