Encontre uma solução particular da EDO.
y^{\prime \prime}+y=\operatorname{tg} t

Passo 1

O enunciado pede: encontrar uma solução particular da equação diferencial ordinária
y''+y=\operatorname{tg} t.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A equação é linear, de segunda ordem, não-homogênea, com termo não-homogêneo \operatorname{tg} t = \tan t.
  • A função \tan t tem singularidades em t=\tfrac{\pi}{2}+k\pi; portanto as soluções serão válidas em intervalos onde \cos t\neq0 (intervalos entre essas singularidades).
  • Não é possível usar método de coeficientes indeterminados (o termo não-homogêneo não é exponencial/polinomial/seno/cosseno simples), então vamos usar variação de parâmetros.

Passo 2

Achar a solução geral da homogênea associada:
y_h''+y_h=0.
As soluções básicas dessa homogênea são
y_1(t)=\cos t,\qquad y_2(t)=\sin t.
Logo a solução geral da homogênea é
y_h(t)=C_1\cos t + C_2\sin t.

Passo 3

Explicar e aplicar variação de parâmetros (fórmula que vou usar):
  • Para uma EDO na forma y''+p(t)y'+q(t)y=r(t)\) com duas soluções independentes \(y_1,y_2\) da homogênea, uma solução particular pode ser escrita como \[y_p = u_1(t)y_1(t)+u_2(t)y_2(t),
onde as derivadas u_1',u_2' satisfazem o sistema
\begin{cases} u_1' y_1 + u_2' y_2 = 0,\\[4pt] u_1' y_1' + u_2' y_2' = r(t). \end{cases}
  • Para o caso y''+y=\tan t\] temos \(r(t)=\tan t. O Wronskiano é
W(t)=\begin{vmatrix}\!y_1 & y_2\\[2pt] y_1' & y_2'\!\end{vmatrix} =\begin{vmatrix}\cos t & \sin t\\\\ -\sin t & \cos t\end{vmatrix} =\cos^2 t+\sin^2 t=1.
Com W=1 as fórmulas explícitas ficam simples:
u_1' = -y_2\cdot r = -\sin t\cdot\tan t,\qquad u_2' = y_1\cdot r = \cos t\cdot\tan t.]

Passo 4

Calcular u_1' e u_2' e integrá-los (explicando cada passo):
  • Primeiro
u_2'=\cos t\cdot\tan t=\cos t\cdot\frac{\sin t}{\cos t}=\sin t.
Logo
u_2=\int \sin t\,dt = -\cos t + C_2.
Podemos desprezar a constante (ela seria absorvida em C_1, C_2 da homogênea) e escolher u_2=-\cos t como antiderivada conveniente.
  • Agora
u_1'=-\sin t\cdot\tan t=-\frac{\sin^2 t}{\cos t}.
Use a identidade \sin^2 t=1-\cos^2 t para simplificar:
u_1'=-\frac{1-\cos^2 t}{\cos t}=-\operatorname{sec} t+\cos t.
Integrando termo a termo:
u_1=\int(\cos t-\operatorname{sec} t)\,dt=\int\cos t\,dt - \int\operatorname{sec} t\,dt.
Calcula-se
\int\cos t\,dt=\sin t,
e a integral conhecida
\int\operatorname{sec} t\,dt=\ln\!\bigl|\operatorname{sec} t+\tan t\bigr| + \text{const.}
Portanto, tomando constantes absorvíveis na homogênea,
u_1=\sin t - \ln\!\bigl|\operatorname{sec} t+\tan t\bigr|.

Passo 5

Construir a solução particular y_p e simplificar:
y_p = u_1 y_1 + u_2 y_2 = \bigl(\sin t - \ln\!\bigl|\operatorname{sec} t+\tan t\bigr|\bigr)\cos t + (-\cos t)\sin t.
Repare que os termos \sin t\cos t se cancelam:
y_p = -\cos t\;\ln\!\bigl|\operatorname{sec} t+\tan t\bigr|.

Passo 6

Verificação (rápida) de que y_p realmente funciona — mostrar a ideia sem pular contas:
  • Defina L(t)=\ln\!\bigl|\operatorname{sec} t+\tan t\bigr|. Uma identidade útil (derivada direta) é
L'(t)=\frac{d}{dt}\ln\!\bigl|\operatorname{sec} t+\tan t\bigr|=\operatorname{sec} t.
  • Para y_p=-\cos t\,L(t) tem-se
y_p'=\sin t\,L(t)-\cos t\cdot\operatorname{sec} t=\sin t\,L(t)-1,
y_p''=\cos t\,L(t)+\sin t\cdot\operatorname{sec} t=\cos t\,L(t)+\tan t.
Somando y_p''+y_p os termos em \cos t\,L(t) se cancelam, restando
y_p''+y_p=\tan t,
exatamente o lado direito da equação. Portanto a função encontrada é de fato uma solução particular.

Passo 7

Observação sobre domínio e solução geral:
  • A solução particular encontrada
y_p(t)=-\cos t\;\ln\!\bigl|\operatorname{sec} t+\tan t\bigr|
é válida em qualquer intervalo onde \cos t\neq0 (isto é, entre as singularidades de \tan t).
  • Se quiser a solução geral da EDOs, basta somar a homogênea:
y(t)=C_1\cos t + C_2\sin t -\cos t\;\ln\!\bigl|\operatorname{sec} t+\tan t\bigr|.

Resposta

y_p(t)=-\cos t\;\ln\!\bigl|\operatorname{sec} t+\tan t\bigr|

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