Encontre uma solução particular da EDO. y^{\prime \prime}+y=\operatorname{tg} t
Passo 1
O enunciado pede: encontrar uma solução particular da equação diferencial ordinária
y''+y=\operatorname{tg} t.
Informações dadas e observações iniciais:
A equação é linear, de segunda ordem, não-homogênea, com termo não-homogêneo \operatorname{tg} t = \tan t.
A função \tan t tem singularidades em t=\tfrac{\pi}{2}+k\pi; portanto as soluções serão válidas em intervalos onde \cos t\neq0 (intervalos entre essas singularidades).
Não é possível usar método de coeficientes indeterminados (o termo não-homogêneo não é exponencial/polinomial/seno/cosseno simples), então vamos usar variação de parâmetros.
Passo 2
Achar a solução geral da homogênea associada:
y_h''+y_h=0.
As soluções básicas dessa homogênea são
y_1(t)=\cos t,\qquad y_2(t)=\sin t.
Logo a solução geral da homogênea é
y_h(t)=C_1\cos t + C_2\sin t.
Passo 3
Explicar e aplicar variação de parâmetros (fórmula que vou usar):
Para uma EDO na forma y''+p(t)y'+q(t)y=r(t)\) com duas soluções independentes \(y_1,y_2\) da homogênea, uma solução particular pode ser escrita como
\[y_p = u_1(t)y_1(t)+u_2(t)y_2(t),