onde s é, em geral, um número complexo; escreve-se s=\sigma+ i\omega. A integral é imprópria no limite superior, então é preciso verificar convergência dependendo de \operatorname{Re}(s)=\sigma.
Passo 3
Aplicando a definição ao caso f(t)=t obtemos a integral a calcular:
Vou calcular essa integral por partes. Antes, observo que para garantir a convergência da integral, preciso de \operatorname{Re}(s)>0 (explico isso quando tratar do limite t\to\infty).
Passo 4
Fórmula de integração por partes (recordando): se u=u(t) e v'=v'(t) são funções suficientemente suaves, então
\int u\,v' = u v \Big|_{0}^{\infty} - \int u' v.
Escolho u=t e v'=e^{-st}. Assim:
u=t implica u'=1.
v' = e^{-st} implica v = \int e^{-st}\,dt = -\frac{1}{s}e^{-st} (válido para s\neq 0).
Agora avalio os termos de contorno e a integral restante.
Avaliação do termo de contorno \left. -\dfrac{t e^{-st}}{s} \right|_{0}^{\infty}:
Em t=0 esse termo vale -\dfrac{0\cdot e^{0}}{s}=0.
Em t\to\infty precisamos que t e^{-st}\to 0. Para s=\sigma+i\omega tem-se |t e^{-st}|=t e^{-\sigma t}. Se \sigma>0 então t e^{-\sigma t}\to 0 quando t\to\infty. Portanto o termo no infinito é 0 desde que \operatorname{Re}(s)>0. Logo o termo de contorno total é 0.
Passo 6
Fica então
\int_{0}^{\infty} t e^{-st}\,dt = \frac{1}{s}\int_{0}^{\infty} e^{-st}\,dt.
Calculo a integral exponencial (é uma integral geométrica/improper simples):