Calcule a transformada de Laplace:
(d) f(t)=t

Passo 1

O enunciado dá a função f(t)=t (presumindo t\ge 0) e pede a sua transformada de Laplace.
Informações fornecidas:
  • f(t)=t para t\ge 0.
O que é pedido:
  • Calcular \mathcal{L}\{f(t)\}(s), isto é a transformada de Laplace de f(t)=t, e indicar a região de convergência em termos de s.

Passo 2

Lembrete da definição que vou usar: a transformada de Laplace de uma função f(t) é
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}f(t)\,dt,
onde s é, em geral, um número complexo; escreve-se s=\sigma+ i\omega. A integral é imprópria no limite superior, então é preciso verificar convergência dependendo de \operatorname{Re}(s)=\sigma.

Passo 3

Aplicando a definição ao caso f(t)=t obtemos a integral a calcular:
F(s)=\mathcal{L}\{t\}(s)=\int_{0}^{\infty} t\,e^{-st}\,dt.
Vou calcular essa integral por partes. Antes, observo que para garantir a convergência da integral, preciso de \operatorname{Re}(s)>0 (explico isso quando tratar do limite t\to\infty).

Passo 4

Fórmula de integração por partes (recordando): se u=u(t) e v'=v'(t) são funções suficientemente suaves, então
\int u\,v' = u v \Big|_{0}^{\infty} - \int u' v.
Escolho u=t e v'=e^{-st}. Assim:
  • u=t implica u'=1.
  • v' = e^{-st} implica v = \int e^{-st}\,dt = -\frac{1}{s}e^{-st} (válido para s\neq 0).

Passo 5

Aplicando integração por partes:
\int_{0}^{\infty} t e^{-st}\,dt = \left. -\frac{t e^{-st}}{s} \right|_{0}^{\infty} + \int_{0}^{\infty} \frac{1}{s} e^{-st}\,dt.
Agora avalio os termos de contorno e a integral restante.
Avaliação do termo de contorno \left. -\dfrac{t e^{-st}}{s} \right|_{0}^{\infty}:
  • Em t=0 esse termo vale -\dfrac{0\cdot e^{0}}{s}=0.
  • Em t\to\infty precisamos que t e^{-st}\to 0. Para s=\sigma+i\omega tem-se |t e^{-st}|=t e^{-\sigma t}. Se \sigma>0 então t e^{-\sigma t}\to 0 quando t\to\infty. Portanto o termo no infinito é 0 desde que \operatorname{Re}(s)>0. Logo o termo de contorno total é 0.

Passo 6

Fica então
\int_{0}^{\infty} t e^{-st}\,dt = \frac{1}{s}\int_{0}^{\infty} e^{-st}\,dt.
Calculo a integral exponencial (é uma integral geométrica/improper simples):
\int_{0}^{\infty} e^{-st}\,dt = \left. -\frac{1}{s} e^{-st} \right|_{0}^{\infty} = 0 - \left(-\frac{1}{s}\right) = \frac{1}{s},
quando \operatorname{Re}(s)>0. Substituindo:
\int_{0}^{\infty} t e^{-st}\,dt = \frac{1}{s}\cdot\frac{1}{s}=\frac{1}{s^{2}}.
Portanto a transformada existe para \operatorname{Re}(s)>0 e vale \dfrac{1}{s^{2}}.

Passo 7

Dica rápida para a prova: a fórmula geral para potências inteiras não-negativas é
\mathcal{L}\{t^{n}\}(s)=\frac{n!}{s^{n+1}}\quad\text{para }n\in\{0,1,2,\dots\}\text{ e }\operatorname{Re}(s)>0.
No caso n=1 isso dá \dfrac{1!}{s^{2}}=\dfrac{1}{s^{2}}, que confirma o resultado acima. Isso poupa tempo quando aparecer t^{n}.

Resposta

\displaystyle \mathcal{L}\{t\}(s)=\frac{1}{s^{2}},\quad \operatorname{Re}(s)>0

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