Sendo uma função exponencial definida por f(x+1)=200 \cdot(a+4)^{x}, determine o valor de a para que a f(2)=400.

Passo 1

O enunciado fornece a seguinte definição da função (onde a é uma constante desconhecida):
f(x+1)=200\cdot(a+4)^{x}.
O que o problema pede é: determinar o valor de a tal que
f(2)=400.
Informações relevantes dadas:
  • A expressão para f está escrita em termos de x+1.
  • A constante multiplicativa é 200.
  • A base da exponencial é a+4.
  • Deseja-se que f(2) valha 400.

Passo 2

Entender o que significa "avaliar f(2)" quando a definição aparece como f(x+1). Para calcular f(2) a ideia é: encontrar o valor de x tal que x+1=2. Então resolvemos a equação simples:
x+1=2.
Subtraindo 1 de ambos os lados obtemos
x=1.
Regra geral explicada: se a função é dada por uma fórmula para f(x+1), para avaliar f em um número t basta resolver x+1=t e substituir esse x na fórmula.

Passo 3

Substituir x=1 na definição para obter f(2). Usando a fórmula dada:
f(2)=f(1+1)=200\cdot(a+4)^{1}.
Lembrando a propriedade dos expoentes: para qualquer número b, b^{1}=b. Assim
f(2)=200\cdot(a+4).

Passo 4

Agora impõe-se a condição f(2)=400. Igualando as expressões:
200\cdot(a+4)=400.
Resolvendo passo a passo: dividir ambos os lados por 200,
a+4= \frac{400}{200}=2.
Em seguida subtrair 4 de ambos os lados,
a=2-4=-2.

Passo 5

Verificação e comentário didático: com a=-2 a base da exponencial fica a+4=-2+4=2, que é positiva — portanto a expressão exponencial é bem comportada. Substituindo na definição:
f(x+1)=200\cdot 2^{x},
e para f(2) (ou seja, x=1) obtemos
f(2)=200\cdot 2^{1}=200\cdot 2=400,
como exigido. Tudo confere.

Resposta

-2

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