Determine a equaçâo da reta tangente ao gráfico das seguintes funções no ponto x0 indicado:
p(x)=raiz[3]x, x0=1

Passo 1

O exercício pede a equação da reta tangente ao gráfico da função p(x)=raiz[3]x no ponto x0=1. O conteúdo aqui é derivada de funções potenciais e a fórmula da reta tangente, que diz que a reta em x0 tem equação y - p(x0) = p'(x0),(x - x0).

Passo 2

Para encontrar a derivada de p(x)=x^1/3, aplicamos a regra da potência, que diz que se f(x)=x^n, então f'(x)=n x^n-1. Assim temos:
p'(x)=13x^tfrac13-1=13x^-tfrac23

Passo 3

Agora avaliamos a derivada em x0=1:
p'(1)=13cdot1^-tfrac23=13

Passo 4

Precisamos também das coordenadas do ponto no gráfico. Como p(1)=raiz[3]1=1, o ponto é (1,1).

Passo 5

Usando a fórmula da reta tangente y - y0 = m(x - x0), com m=p'(1)=1/3 e (x0,y0)=(1,1), obtemos:
y-1=13(x-1)

Resposta

y=\tfrac{1}{3}x+\tfrac{2}{3}

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