Encontre a solução particular das seguintes EDOs, utilizando o método dos coeficientes indeterminados
(y^{\prime \prime}-9 y^{\prime}+3 y=x{4}-x{2})

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial não-homogênea
y''-9y'+3y = x^{4}-x^{2}
e pede para encontrar uma solução particular usando o método dos coeficientes indeterminados.
Informações importantes que temos do enunciado:
  • O termo do lado direito é o polinômio \;x^{4}-x^{2}\;, de grau 4.
  • Não foi dada nenhuma condição inicial — só precisamos de uma solução particular y_{p}(x).
  • O objetivo é aplicar o método dos coeficientes indeterminados para obter y_{p}(x).

Passo 2

O que é o método dos coeficientes indeterminados (explicação didática)?
  • Quando o membro direito (forçante) é uma função “simples” como polinômio, exponencial, seno/cosseno ou produto deles, podemos procurar uma solução particular da mesma forma funcional, com coeficientes desconhecidos.
  • Para um membro direito que é um polinômio de grau n, a escolha inicial é um polinômio geral de grau n com coeficientes indeterminados:
y_{p}(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_{0}.
  • Porém, se alguma parte desse palpite já for solução da equação homogênea associada, precisamos multiplicar o palpite por x^{s}, onde s é a multiplicidade desse “conflito” (isso evita ressonância).
Vou aplicar essa ideia aqui: RHS é um polinômio de grau 4, então começamos por um polinômio de grau 4 com coeficientes a determinar.

Passo 3

Verificação de ressonância (precisamos multiplicar por x?):
  • A equação homogênea associada é
y''-9y'+3y=0,
com polinômio característico
r^{2}-9r+3.
  • A ressonância com um polinômio ocorre se r=0 for raiz do polinômio característico (porque polinômios correspondem a termos da forma e^{0x}). Avaliando em r=0 obtemos
(0)^{2}-9(0)+3 = 3 \neq 0.
  • Conclusão: r=0 não é raiz; portanto NÃO há ressonância com termos polinomiais e não precisamos multiplicar o palpite por x.

Passo 4

Escolha do palpite (ansatz):
Como não há ressonância e o RHS é grau 4, tomo
y_{p}(x)=Ax^{4}+Bx^{3}+Cx^{2}+Dx+E,
onde A,B,C,D,E são constantes a determinar. Vou agora calcular as derivadas necessárias.

Passo 5

Cálculo das derivadas do palpite:
y_{p}'(x)=4Ax^{3}+3Bx^{2}+2Cx+D,
y_{p}''(x)=12Ax^{2}+6Bx+2C.

Passo 6

Substituição na equação e agrupamento por potências de x:
Substituo \;y_{p},y_{p}',y_{p}''\; em \;y''-9y'+3y\;:
y_{p}''-9y_{p}'+3y_{p} = (12Ax^{2}+6Bx+2C) -9(4Ax^{3}+3Bx^{2}+2Cx+D) +3(Ax^{4}+Bx^{3}+Cx^{2}+Dx+E).
Agora agrupo os termos por potências de x:
Coeficiente de x^{4}:
3A.
Coeficiente de x^{3}:
-36A+3B.
Coeficiente de x^{2}:
12A-27B+3C.
Coeficiente de x:
6B-18C+3D.
Termo constante:
2C-9D+3E.
Portanto
y_{p}''-9y_{p}'+3y_{p} = (3A)x^{4}+(-36A+3B)x^{3}+(12A-27B+3C)x^{2}+(6B-18C+3D)x+(2C-9D+3E).

Passo 7

Igualando aos coeficientes do membro direito \;x^{4}-x^{2}\;\): Devemos ter \[(3A)x^{4}+(-36A+3B)x^{3}+(12A-27B+3C)x^{2}+(6B-18C+3D)x+(2C-9D+3E) = x^{4}+0\cdot x^{3}-x^{2}+0\cdot x+0.
Isto gera o sistema linear:
\begin{cases} 3A = 1,\\[4pt] -36A+3B = 0,\\[4pt] 12A-27B+3C = -1,\\[4pt] 6B-18C+3D = 0,\\[4pt] 2C-9D+3E = 0. \end{cases}
Vou resolver em cadeia (um passo por vez):
  1. Da primeira equação:
3A=1 \quad\Rightarrow\quad A=\dfrac{1}{3}.
  1. Da segunda:
-36A+3B=0 \quad\Rightarrow\quad 3B=36A \quad\Rightarrow\quad B=12A.
Substituindo (A=\dfrac{1}{3}]:
B=12\cdot \dfrac{1}{3}=4.
  1. Terceira equação:
12A-27B+3C=-1.
Substituindo A=\dfrac{1}{3} e B=4:
12\cdot \dfrac{1}{3}-27\cdot 4 +3C = -1
4 -108 +3C = -1
-104 +3C = -1
3C = 103 \quad\Rightarrow\quad C=\dfrac{103}{3}.
  1. Quarta equação:
6B-18C+3D=0.
Substituindo B=4 e C=\dfrac{103}{3}:
6\cdot 4 -18\cdot \dfrac{103}{3} +3D = 0
24 -6\cdot 103 +3D = 0
24 -618 +3D = 0
-594 +3D = 0
3D = 594 \quad\Rightarrow\quad D = 198.
  1. Quinta equação:
2C-9D+3E=0.
Substituindo C=\dfrac{103}{3} e D=198:
2\cdot \dfrac{103}{3} -9\cdot 198 +3E = 0
\dfrac{206}{3} -1782 +3E = 0
Colocando tudo sobre o mesmo denominador 3:
\dfrac{206 -5346}{3} +3E = 0
\dfrac{-5140}{3} +3E = 0
3E = \dfrac{5140}{3} \quad\Rightarrow\quad E = \dfrac{5140}{9}.]

Passo 8

Agora já temos todos os coeficientes:
A=\dfrac{1}{3},\quad B=4,\quad C=\dfrac{103}{3},\quad D=198,\quad E=\dfrac{5140}{9}.
Portanto a solução particular é
y_{p}(x)=\dfrac{1}{3}x^{4}+4x^{3}+\dfrac{103}{3}x^{2}+198x+\dfrac{5140}{9}.

Resposta

y_{p}(x)=\dfrac{1}{3}x^{4}+4x^{3}+\dfrac{103}{3}x^{2}+198x+\dfrac{5140}{9}

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