Encontre a solução particular das seguintes EDOs, utilizando o método dos coeficientes indeterminados
(y^{\prime \prime}-9 y^{\prime}+3 y=x{4}-x{2})
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial não-homogênea
y''-9y'+3y = x^{4}-x^{2}
e pede para encontrar uma solução particular usando o método dos coeficientes indeterminados.
Informações importantes que temos do enunciado:
O termo do lado direito é o polinômio \;x^{4}-x^{2}\;, de grau 4.
Não foi dada nenhuma condição inicial — só precisamos de uma solução particular y_{p}(x).
O objetivo é aplicar o método dos coeficientes indeterminados para obter y_{p}(x).
Passo 2
O que é o método dos coeficientes indeterminados (explicação didática)?
Quando o membro direito (forçante) é uma função “simples” como polinômio, exponencial, seno/cosseno ou produto deles, podemos procurar uma solução particular da mesma forma funcional, com coeficientes desconhecidos.
Para um membro direito que é um polinômio de grau n, a escolha inicial é um polinômio geral de grau n com coeficientes indeterminados:
y_{p}(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_{0}.
Porém, se alguma parte desse palpite já for solução da equação homogênea associada, precisamos multiplicar o palpite por x^{s}, onde s é a multiplicidade desse “conflito” (isso evita ressonância).
Vou aplicar essa ideia aqui: RHS é um polinômio de grau 4, então começamos por um polinômio de grau 4 com coeficientes a determinar.
Passo 3
Verificação de ressonância (precisamos multiplicar por x?):
A equação homogênea associada é
y''-9y'+3y=0,
com polinômio característico
r^{2}-9r+3.
A ressonância com um polinômio ocorre se r=0 for raiz do polinômio característico (porque polinômios correspondem a termos da forma e^{0x}). Avaliando em r=0 obtemos
(0)^{2}-9(0)+3 = 3 \neq 0.
Conclusão: r=0 não é raiz; portanto NÃO há ressonância com termos polinomiais e não precisamos multiplicar o palpite por x.
Passo 4
Escolha do palpite (ansatz):
Como não há ressonância e o RHS é grau 4, tomo
y_{p}(x)=Ax^{4}+Bx^{3}+Cx^{2}+Dx+E,
onde A,B,C,D,E são constantes a determinar. Vou agora calcular as derivadas necessárias.
Passo 5
Cálculo das derivadas do palpite:
y_{p}'(x)=4Ax^{3}+3Bx^{2}+2Cx+D,
y_{p}''(x)=12Ax^{2}+6Bx+2C.
Passo 6
Substituição na equação e agrupamento por potências de x:
Substituo \;y_{p},y_{p}',y_{p}''\; em \;y''-9y'+3y\;:
Igualando aos coeficientes do membro direito \;x^{4}-x^{2}\;\):
Devemos ter
\[(3A)x^{4}+(-36A+3B)x^{3}+(12A-27B+3C)x^{2}+(6B-18C+3D)x+(2C-9D+3E) = x^{4}+0\cdot x^{3}-x^{2}+0\cdot x+0.