Encontre a solução particular das seguintes EDOs, utilizando o método dos coeficientes indeterminados
(y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+8 y=\cos (x))

Passo 1

O enunciado pede: encontrar uma solução particular da equação diferencial
y''+2y'+8y=\cos(x).
Informações fornecidas:
  • A EDO é linear de coeficientes constantes e não homogênea.
  • O termo não homogêneo (forçamento) é \cos(x).
  • A tarefa é obter apenas uma solução particular y_p(x) (não é pedido o geral).

Passo 2

Escolha do método e ideia principal (explicação didática):
  • O método dos coeficientes indeterminados consiste em propor uma forma para y_p(x) com coeficientes desconhecidos que se pareça com o termo forçante (aqui \cos(x)), derivar, substituir na EDO e determinar os coeficientes igualando termos.
  • Regra prática: se o forçamento é combinação de senos e cossenos de frequência \omega, tentamos y_p=A\cos(\omega x)+B\sin(\omega x), salvo se essa proposta faz parte da solução homogênea (caso de ressonância) — então multiplicaríamos por x.
  • Neste problema o forçamento é \cos(x) (frequência \omega=1), então inicialmente propomos
y_p(x)=A\cos(x)+B\sin(x),
com A,B constantes a determinar. Depois verificaremos se há ressonância (se a proposta coincide com alguma solução homogênea).

Passo 3

Resolver a equação homogênea associada para verificar ressonância:
  • A homogênea é
y''+2y'+8y=0.
  • Equação característica: \,r^2+2r+8=0\,.
  • Calcular as raízes:
\Delta=2^2-4\cdot1\cdot8=4-32=-28.
r=\frac{-2\pm\sqrt{-28}}{2}=-1\pm i\sqrt{7}.
  • Portanto a solução geral da homogênea é
y_h(x)=e^{-x}\big(C_1\cos(\sqrt{7}\,x)+C_2\sin(\sqrt{7}\,x)\big).
Observação importante para o método: as soluções homogêneas têm frequência \sqrt{7} (quando multiplicadas por e^{-x}), não têm frequência 1. Logo a proposta A\cos x + B\sin x NÃO coincide com nenhuma solução homogênea — não há ressonância e a forma escolhida é apropriada.

Passo 4

Propor a solução particular e calcular derivadas:
  • Proposta:
y_p(x)=A\cos(x)+B\sin(x).
  • Derivadas:
y_p'(x)=-A\sin(x)+B\cos(x),
y_p''(x)=-A\cos(x)-B\sin(x).
Explanação: derivar \cos -\sin e derivar \sin \cos; as constantes A,B permanecem multiplicando.

Passo 5

Substituir y_p, y_p' e y_p'' na EDO e agrupar termos:
  • Substituição na esquerda:
y_p''+2y_p'+8y_p = \big(-A\cos x - B\sin x\big) + 2\big(-A\sin x + B\cos x\big) + 8\big(A\cos x + B\sin x\big).
  • Agrupando coeficientes de \cos x e \sin x:
    coeficiente de \cos x:
(-A) + 2B + 8A = 7A + 2B.
coeficiente de \sin x:
(-B) -2A + 8B = 7B - 2A.
Logo
y_p''+2y_p'+8y_p = (7A+2B)\cos x + (7B-2A)\sin x.

Passo 6

Igualar à direita \cos x e obter sistema para A,B:
  • Queremos
(7A+2B)\cos x + (7B-2A)\sin x = 1\cdot\cos x + 0\cdot\sin x.
  • Assim obtemos o sistema linear:
\begin{cases} 7A+2B=1,\\[4pt] -2A+7B=0. \end{cases}]

Passo 7

Resolver o sistema linear (eliminação simples):
  • Da segunda equação:
7B=2A \quad\Rightarrow\quad B=\frac{2}{7}A.
  • Substituindo na primeira:
7A+2\left(\frac{2}{7}A\right)=1.
Calcule passo a passo:
7A + \frac{4}{7}A = \frac{49}{7}A + \frac{4}{7}A = \frac{53}{7}A = 1.
Logo
A=\frac{7}{53}.
  • Então
B=\frac{2}{7}A=\frac{2}{7}\cdot\frac{7}{53}=\frac{2}{53}.

Passo 8

Escrever a solução particular encontrada e verificar rapidamente:
  • A solução particular é
y_p(x)=\frac{7}{53}\cos x + \frac{2}{53}\sin x.
  • Verificação rápida dos coeficientes: calcule 7A+2B=7\cdot\frac{7}{53}+2\cdot\frac{2}{53}=\frac{49+4}{53}=\frac{53}{53}=1 e 7B-2A=7\cdot\frac{2}{53}-2\cdot\frac{7}{53}=\frac{14-14}{53}=0, que coincide com o lado direito \cos x. Portanto está correto.

Resposta

y_p(x)=\frac{7}{53}\cos x+\frac{2}{53}\sin x

Exercícios relacionados