Encontre a solução particular das seguintes EDOs, utilizando o método dos coeficientes indeterminados
(y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+8 y=\cos (x))
(y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+8 y=\cos (x))
Passo 1
O enunciado pede: encontrar uma solução particular da equação diferencial
Informações fornecidas:
- A EDO é linear de coeficientes constantes e não homogênea.
- O termo não homogêneo (forçamento) é
. - A tarefa é obter apenas uma solução particular
(não é pedido o geral).
Passo 2
Escolha do método e ideia principal (explicação didática):
- O método dos coeficientes indeterminados consiste em propor uma forma para
com coeficientes desconhecidos que se pareça com o termo forçante (aqui ), derivar, substituir na EDO e determinar os coeficientes igualando termos. - Regra prática: se o forçamento é combinação de senos e cossenos de frequência
, tentamos , salvo se essa proposta faz parte da solução homogênea (caso de ressonância) — então multiplicaríamos por . - Neste problema o forçamento é
(frequência ), então inicialmente propomos
com
constantes a determinar. Depois verificaremos se há ressonância (se a proposta coincide com alguma solução homogênea).
Passo 3
Resolver a equação homogênea associada para verificar ressonância:
- A homogênea é
- Equação característica:
. - Calcular as raízes:
- Portanto a solução geral da homogênea é
Observação importante para o método: as soluções homogêneas têm frequência
(quando multiplicadas por
), não têm frequência
. Logo a proposta
NÃO coincide com nenhuma solução homogênea — não há ressonância e a forma escolhida é apropriada.
Passo 4
Propor a solução particular e calcular derivadas:
- Proposta:
- Derivadas:
Explanação: derivar
dá
e derivar
dá
; as constantes
permanecem multiplicando.
Passo 5
Substituir
,
e
na EDO e agrupar termos:
- Substituição na esquerda:
- Agrupando coeficientes de
e :
coeficiente de:
coeficiente de
:
Logo
Passo 6
Igualar à direita
e obter sistema para
:
- Queremos
- Assim obtemos o sistema linear:
Passo 7
Resolver o sistema linear (eliminação simples):
- Da segunda equação:
- Substituindo na primeira:
Calcule passo a passo:
Logo
- Então
Passo 8
Escrever a solução particular encontrada e verificar rapidamente:
- A solução particular é
- Verificação rápida dos coeficientes: calcule
e , que coincide com o lado direito . Portanto está correto.