Encontre a solução particular das seguintes EDOs, utilizando o método dos coeficientes indeterminados
(y^{\prime \prime}+5 y{\prime}=x{3}-3 x^{2}+4 x-9)
(y^{\prime \prime}+5 y{\prime}=x{3}-3 x^{2}+4 x-9)
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem (não-homogênea) e pede a solução particular usando o método dos coeficientes indeterminados. Os dados e o que se pede são:
- Equação:
- Pedir: encontrar uma solução particular
que satisfaça essa equação (não é necessário escrever a solução geral, apenas a parte particular).
Passo 2
Entender o que o método dos coeficientes indeterminados exige aqui (explicação didática e sem pular etapas).
Quando a força externa (lado direito) é um polinômio em
de grau
, uma primeira tentativa é procurar uma solução particular
também na forma de um polinômio de grau
:
com coeficientes
desconhecidos que vamos determinar.
Porém precisamos verificar se alguma parte desse palpite pertence ao espaço das soluções da equação homogênea associada
Resolvendo a homogênea: equação característica
, logo as raízes são
e
. A raiz
significa que a função constante (polinômio de grau
) é solução da homogênea. Como o palpite
contém termo constante
, existe conflito (resonância) com a solução homogênea. Para eliminar o conflito, multiplicamos o palpite polinomial por
, onde
é a multiplicidade da raiz
na homogênea; aqui
. Assim devemos usar como ansatz um polinômio aumentado por um fator
.
Passo 3
Construir o ansatz final (palpite corrigido) e explicá-lo claramente.
Multiplicando por
obtemos o palpite
onde
são constantes reais desconhecidas que vamos determinar substituindo
na equação diferencial. Note que não há termo constante neste
(o
vira coeficiente de
), evitando a ressonância com a solução constante da homogênea.
Passo 4
Calcular derivadas de
(passo a passo, para poder substituir na EDO).
Derivando termo a termo:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 5
Substituir
,
e
em
e igualar coeficientes com o polinômio do lado direito.
Substituindo:
Multiplicando e somando termos semelhantes:
Isso deve ser igual ao polinômio do lado direito:
Agora igualamos coeficiente a coeficiente para as potências
:
Para
:
Para
:
Para
:
Para termo constante:
Passo 6
Resolver o sistema para
de forma organizada (mostrando cada substituição).
Da primeira equação:
Substituindo
na segunda equação:
Calcule
. Assim
Portanto
Agora usar
na equação para
:
Calcule
. Então
Logo
Finalmente obter
pela equação constante:
Calcule
. Escrevendo
com denominador
:
. Assim
Portanto
Resumo dos coeficientes:
Passo 7
Escrever a solução particular completa com os coeficientes encontrados.
Substituindo em
, obtemos