Encontre a solução particular das seguintes EDOs, utilizando o método dos coeficientes indeterminados
(y^{\prime \prime}+5 y{\prime}=x{3}-3 x^{2}+4 x-9)

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem (não-homogênea) e pede a solução particular usando o método dos coeficientes indeterminados. Os dados e o que se pede são:
  • Equação: y'' + 5y' = x^{3} - 3x^{2} + 4x - 9.
  • Pedir: encontrar uma solução particular y_{p}(x) que satisfaça essa equação (não é necessário escrever a solução geral, apenas a parte particular).

Passo 2

Entender o que o método dos coeficientes indeterminados exige aqui (explicação didática e sem pular etapas).
Quando a força externa (lado direito) é um polinômio em x de grau n, uma primeira tentativa é procurar uma solução particular y_{p} também na forma de um polinômio de grau n:
y_{p}^{(0)}(x)=A x^{3}+B x^{2}+C x+D,
com coeficientes A,B,C,D desconhecidos que vamos determinar.
Porém precisamos verificar se alguma parte desse palpite pertence ao espaço das soluções da equação homogênea associada
y''+5y'=0.
Resolvendo a homogênea: equação característica \,r^{2}+5r=0\Rightarrow r(r+5)=0, logo as raízes são r=0 e r=-5. A raiz r=0 significa que a função constante (polinômio de grau 0) é solução da homogênea. Como o palpite y_{p}^{(0)} contém termo constante D, existe conflito (resonância) com a solução homogênea. Para eliminar o conflito, multiplicamos o palpite polinomial por \,x^{s}, onde s é a multiplicidade da raiz r=0 na homogênea; aqui s=1. Assim devemos usar como ansatz um polinômio aumentado por um fator x.

Passo 3

Construir o ansatz final (palpite corrigido) e explicá-lo claramente.
Multiplicando por x obtemos o palpite
y_{p}(x)=x\bigl(A x^{3}+B x^{2}+C x+D\bigr)=A x^{4}+B x^{3}+C x^{2}+D x,
onde A,B,C,D são constantes reais desconhecidas que vamos determinar substituindo y_{p} na equação diferencial. Note que não há termo constante neste y_{p} (o D vira coeficiente de x), evitando a ressonância com a solução constante da homogênea.

Passo 4

Calcular derivadas de y_{p} (passo a passo, para poder substituir na EDO).
Derivando termo a termo:
y_{p}(x)=A x^{4}+B x^{3}+C x^{2}+D x.
Primeira derivada:
y_{p}'(x)=4A x^{3}+3B x^{2}+2C x+D.
Segunda derivada:
y_{p}''(x)=12A x^{2}+6B x+2C.

Passo 5

Substituir y_{p}, y_{p}' e y_{p}'' em y''+5y' e igualar coeficientes com o polinômio do lado direito.
Substituindo:
y_{p}''+5y_{p}' = \bigl(12A x^{2}+6B x+2C\bigr) + 5\bigl(4A x^{3}+3B x^{2}+2C x+D\bigr).
Multiplicando e somando termos semelhantes:
y_{p}''+5y_{p}' = 20A x^{3} + \bigl(12A+15B\bigr) x^{2} + \bigl(6B+10C\bigr) x + \bigl(2C+5D\bigr).
Isso deve ser igual ao polinômio do lado direito:
x^{3} - 3x^{2} + 4x - 9.
Agora igualamos coeficiente a coeficiente para as potências x^{3},x^{2},x,1:
Para x^{3}:
20A = 1.
Para x^{2}:
12A +15B = -3.
Para x^{1}:
6B +10C = 4.
Para termo constante:
2C +5D = -9.

Passo 6

Resolver o sistema para A,B,C,D de forma organizada (mostrando cada substituição).
Da primeira equação:
A = \frac{1}{20}.
Substituindo A na segunda equação:
12\cdot\frac{1}{20} +15B = -3.
Calcule 12\cdot\frac{1}{20}=\frac{12}{20}=\frac{3}{5}. Assim
\frac{3}{5} +15B = -3 \quad\Rightarrow\quad 15B = -3 - \frac{3}{5} = -\frac{18}{5}.
Portanto
B = -\frac{18}{5}\cdot\frac{1}{15} = -\frac{18}{75} = -\frac{6}{25}.
Agora usar B na equação para C:
6B +10C = 4 \quad\Rightarrow\quad 10C = 4 - 6B.
Calcule 6B = 6\cdot\left(-\frac{6}{25}\right) = -\frac{36}{25}. Então
10C = 4 - \left(-\frac{36}{25}\right) = 4 + \frac{36}{25} = \frac{100}{25} + \frac{36}{25} = \frac{136}{25}.
Logo
C = \frac{136}{25}\cdot\frac{1}{10} = \frac{136}{250} = \frac{68}{125}.
Finalmente obter D pela equação constante:
2C +5D = -9 \quad\Rightarrow\quad 5D = -9 - 2C.
Calcule 2C = 2\cdot\frac{68}{125} = \frac{136}{125}. Escrevendo -9 com denominador 125: -9 = -\frac{1125}{125}. Assim
5D = -\frac{1125}{125} - \frac{136}{125} = -\frac{1261}{125}.
Portanto
D = -\frac{1261}{125}\cdot\frac{1}{5} = -\frac{1261}{625}.
Resumo dos coeficientes:
A=\frac{1}{20},\qquad B=-\frac{6}{25},\qquad C=\frac{68}{125},\qquad D=-\frac{1261}{625}.

Passo 7

Escrever a solução particular completa com os coeficientes encontrados.
Substituindo em y_{p}(x)=A x^{4}+B x^{3}+C x^{2}+D x, obtemos
y_{p}(x)=\frac{1}{20}x^{4}-\frac{6}{25}x^{3}+\frac{68}{125}x^{2}-\frac{1261}{625}x.

Resposta

y_{p}(x)=\frac{1}{20}x^{4}-\frac{6}{25}x^{3}+\frac{68}{125}x^{2}-\frac{1261}{625}x

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