Verifique que as funções dadas
e
satisfazem a equação homogênea associada, depois encontre uma solução particular da equação não-homogênea dada.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai verificar se as funções
e
realmente satisfazem a equação homogênea associada. Depois, vamos encontrar uma solução particular para a equação não-homogênea
. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais lineares de segunda ordem e métodos para encontrar soluções particulares.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se
satisfaz a equação homogênea. A equação homogênea associada é:
Vamos calcular
e
:
Agora, substituímos na equação homogênea:
Então,
satisfaz a equação homogênea.
Passo 3
Agora, vamos verificar se
também satisfaz a equação homogênea. Primeiro, calculamos as derivadas:
Substituindo na equação homogênea:
Portanto,
também satisfaz a equação homogênea.
Passo 4
Agora que sabemos que
e
são soluções da equação homogênea, vamos encontrar uma solução particular da equação não-homogênea:
Como o lado direito é
, que já é uma das soluções da equação homogênea (
), precisamos ajustar nossa tentativa para a solução particular. Nesse caso, multiplicamos por
para encontrar uma solução que não esteja na solução geral da homogênea. Então, supomos:
Onde
é uma constante a ser determinada.
Passo 5
Vamos calcular as derivadas de
:
Substituindo
,
e
na equação não-homogênea:
Simplificando:
Agrupando os termos:
Para que isso seja verdadeiro para todo
, os coeficientes devem ser iguais:
Aqui vemos um conflito, indicando que nossa suposição inicial não é suficiente. Portanto, precisamos ajustar nossa tentativa de solução particular para incluir um termo sem o logaritmo. Vamos tentar:
Passo 6
Calculamos novamente as derivadas:
Substituindo na equação não-homogênea:
Simplificando:
Agrupando os termos:
Igualando os coeficientes:
Resposta
A solução particular da equação não-homogênea é
.