Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
Isto é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e uma força impulsiva em
.
Vamos usar estes passos:
Vamos usar estes passos:
- achar a solução geral homogênea;
- aplicar as condições iniciais para
; - determinar o salto em
causado pelo delta; - usar as condições em
para achar a solução em .
Passo 2
A equação homogênea associada é
A equação característica é
com raiz dupla
. Logo a solução geral é
Passo 3
Para
não há forçamento (o delta age só em
), então a solução é
. Usando
e
:
logo
e
.
Portanto
Portanto
Passo 4
Para achar o efeito da força
, integramos a EDO de
a
:
No lado esquerdo só
gera salto em
, já que
e suas integrais sobre intervalo infinitesimal são contínuas ou nulas. Logo
Como para
tínhamos
, obtemos as condições iniciais para a solução em
:
Passo 5
Para
a solução volta a ser da forma
Impondo
e
:
Como
, temos
, então
Isso dá
Resposta
A solução do PVI é
Ou de forma compacta,
onde
é a função de Heaviside.