Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=e^{2 t} \delta(t-1), \quad y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y'' - 2y' + y = e^{2t}\,\delta(t-1), \quad y(0)=0,\quad y'(0)=0.
Isto é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e uma força impulsiva em t=1.
Vamos usar estes passos:
  1. achar a solução geral homogênea;
  2. aplicar as condições iniciais para 0\le t<1;
  3. determinar o salto em y' causado pelo delta;
  4. usar as condições em t=1^+ para achar a solução em t>1.

Passo 2

A equação homogênea associada é
y'' - 2y' + y = 0.
A equação característica é
r^2 - 2r + 1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad (r-1)^2 = 0,
com raiz dupla r=1. Logo a solução geral é
y_h(t) = C_1 e^{t} + C_2\,t\,e^{t}.

Passo 3

Para 0\le t<1 não há forçamento (o delta age só em t=1), então a solução é y(t)=y_h(t). Usando y(0)=0 e y'(0)=0:
y(0)=C_1=0, \quad y'(t)=C_1 e^t + C_2(e^t + t e^t) \;\Longrightarrow\; y'(0)=C_1 + C_2 = 0,
logo C_1=0 e C_2=0.
Portanto
y(t)=0 \quad\text{para }0\le t<1.

Passo 4

Para achar o efeito da força e^{2t}\delta(t-1), integramos a EDO de t=1^- a t=1^+:
\int_{1^-}^{1^+}\bigl(y''-2y'+y\bigr)\,dt =\int_{1^-}^{1^+}e^{2t}\,\delta(t-1)\,dt =e^2.
No lado esquerdo só y'' gera salto em y', já que y e suas integrais sobre intervalo infinitesimal são contínuas ou nulas. Logo
\Delta y' = y'(1^+)-y'(1^-)=e^2.
Como para t<1 tínhamos y'(1^-)=0, obtemos as condições iniciais para a solução em t>1:
y(1)=0, \quad y'(1)=e^2.

Passo 5

Para t>1 a solução volta a ser da forma
y(t)=A e^t + B\,t\,e^t.
Impondo y(1)=0 e y'(1)=e^2:
y(1)=A e + B\cdot1\,e = e(A+B)=0 \;\Longrightarrow\; A+B=0,
y'(t)=A e^t + B(e^t + t e^t) =e^t\bigl(A+B+Bt\bigr) \;\Longrightarrow\; y'(1)=e\bigl(A+B+B\cdot1\bigr)=e(A+2B)=e^2.
Como B=-A, temos A+2(-A)=-A, então
e(-A)=e^2 \;\Longrightarrow\; A=-e, \quad B=e.
Isso dá
y(t)= -e\,e^t + e\,t\,e^t = e^{t+1}(t-1) \quad\text{para }t>1.

Resposta

A solução do PVI é
y(t)= \begin{cases} 0,&0\le t<1,\\\ e^{t+1}\,(t-1),&t>1. \end{cases}
Ou de forma compacta,
y(t)=e^{t+1}(t-1)\,H(t-1),
onde H é a função de Heaviside.

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