Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
y^{\prime \prime}+y=g(t), \quad y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=1\), onde \(g(t)= \begin{cases}t / 2, & 0 \leq t<6 \\\\ 3, & t \geq 6\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede a solução do problema de valor inicial
y'' + y = g(t), \quad y(0)=0,\; y'(0)=1,
onde
g(t)= \begin{cases} t/2,&0\le t<6,\\\\ 3,&t\ge6. \end{cases}
O conteúdo é resolução de EDO linear de 2.º ordem com termo forçante por Duhamel (ou função de Green). Vamos usar a forma de convolução com a resposta ao impulso do sistema y''+y=0.

Passo 2

A solução geral do problema, satisfazendo y(0)=0, y'(0)=1, pode ser escrita como
y(t)=\sin t+\int_{0}^{t}\sin\bigl(t-s\bigr)\,g(s)\,\mathrm{d}s.
Aqui \sin t vem da condição inicial não nula de velocidade, e o integral é a contribuição do forçamento g.

Passo 3

Para 0\le t<6 temos g(s)=s/2 em todo o intervalo de integração, então
y(t)=\sin t+\frac12\int_{0}^{t}\sin(t-s)\,s\,\mathrm{d}s.
Para avaliar
I(t)=\int_{0}^{t}\sin(t-s)\,s\,\mathrm{d}s
faça a troca de variável u=t-s. Isso leva a
I(t) =\int_{0}^{t}\sin u\,(t-u)\,\mathrm{d}u =t\int_{0}^{t}\sin u\,\mathrm{d}u -\int_{0}^{t}u\sin u\,\mathrm{d}u.
Sabemos \displaystyle\int_{0}^{t}\sin u\,\mathrm{d}u=1-\cos t
e \displaystyle\int_{0}^{t}u\sin u\,\mathrm{d}u =-t\cos t+\sin t.
Logo
I(t) =t(1-\cos t)-\bigl(-t\cos t+\sin t\bigr) =t-\sin t.
Então, para 0\le t<6,
y(t)=\sin t+\tfrac12\bigl(t-\sin t\bigr) =\frac{t+\sin t}{2}.

Passo 4

Para t\ge6 dividimos o integral em [0,6] (onde g(s)=s/2) e [6,t] (onde g(s)=3):
y(t) =\sin t +\frac12\int_{0}^{6}\sin(t-s)\,s\,\mathrm{d}s +3\int_{6}^{t}\sin(t-s)\,\mathrm{d}s.

Passo 5

Avalie cada parte. Primeiro
A(t)=\int_{0}^{6}\sin(t-s)\,s\,\mathrm{d}s =\int_{0}^{6}\sin u\,(t-u)\,\mathrm{d}u =t\bigl(1-\cos6\bigr) +\bigl(6\cos6-\sin6\bigr).
Depois
B(t)=\int_{6}^{t}\sin(t-s)\,\mathrm{d}s =\int_{0}^{\,t-6}\sin u\,\mathrm{d}u =1-\cos(t-6).
Substituindo em y(t):
y(t) =\sin t +\frac12\bigl[t(1-\cos6)+6\cos6-\sin6\bigr] +3\bigl[1-\cos(t-6)\bigr].
Pode-se deixar nessa forma ou então expandir e agrupar termos.

Resposta

Para 0\le t<6:
y(t)=\frac{t+\sin t}{2}.
Para t\ge6:
y(t) =\sin t +\frac{1-\cos6}{2}\,t +\frac{6\cos6-\sin6}{2} +3\bigl[1-\cos(t-6)\bigr].

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