Resolva o problema de valor inicial e faça o gráfico da solução encontrada. y^{\prime \prime}+y=\sum_{n=1}^{3} \delta(t-n \pi), \quad y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=0
Passo 1
O enunciado pede a solução de valor inicial da equação diferencial com impulsos
y'' + y = \sum_{n=1}^{3}\delta(t - n\pi), \quad y(0)=0,\;y'(0)=0
e o gráfico de y(t). Este é um problema de equação linear forçada por deltas de Dirac, em que a solução é composta por trechos homogêneos intercalados por saltos na derivada de y. Vamos usar a condição de salto
y'(t_0^+) - y'(t_0^-) = 1
sempre que t_0 = n\pi.
Passo 2
Para 0 \le t < \pi não há força (nenhum impulso agiu ainda), logo a solução é homogênea
y_h(t)=A\sin t + B\cos t.
Impondo y(0)=0 e y'(0)=0 obtemos
y(0)=B=0,\quad y'(t)=A\cos t - B\sin t\implies y'(0)=A=0.
Logo
y(t)=0,\quad 0\le t<\pi.
Passo 3
No instante t=\pi ocorre o primeiro impulso. Antes do impulso y(\pi^-)=0,\;y'(\pi^-)=0. Aplicando o salto
y'(\pi^+)=y'(\pi^-)+1=1.
Para \pi<t<2\pi escrevemos novamente a solução homogênea
y(t)=C\sin t + D\cos t.
Impondo continuidade y(\pi^+)=0 e a derivada inicial y'(\pi^+)=1:
y(\pi^+)=C\sin\pi + D\cos\pi = -D=0\implies D=0,
y'(t)=C\cos t - D\sin t\implies y'(\pi^+)=C\cos\pi=-C=1\implies C=-1.
Logo
y(t)=-\sin t,\quad \pi<t<2\pi.
Passo 4
No instante t=2\pi ocorre o segundo impulso. Antes dele