Resolva a equação diferencial dada.
y^{\prime}=x^{2} / y\left(1+x^{3}\right)

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial \displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{x^{2}}{y\,(1+x^{3})}.
Este é um caso de equação de variáveis separáveis: a gente vai colocar todo termo com y de um lado e todo termo com x de outro, e depois integrar.

Passo 2

Reorganizando para separar variáveis, obtemos
y\,dy = \frac{x^{2}}{1+x^{3}}\,dx.

Passo 3

Agora integramos ambos os lados:
\int y\,dy \;=\;\int \frac{x^{2}}{1+x^{3}}\,dx.

Passo 4

No lado esquerdo,
\int y\,dy = \frac{y^{2}}{2}.
No lado direito, fazemos a substituição \;t = 1 + x^{3}, de modo que \,dt = 3x^{2}\,dx e portanto x^{2}\,dx = \tfrac{dt}{3}. Assim
\int \frac{x^{2}}{1+x^{3}}\,dx = \frac{1}{3}\int \frac{dt}{t} = \frac{1}{3}\ln\bigl|t\bigr| = \frac{1}{3}\ln\bigl|1+x^{3}\bigr|.

Passo 5

Juntando os resultados e incluindo a constante de integração C, temos
\frac{y^{2}}{2} = \frac{1}{3}\ln\bigl|1+x^{3}\bigr| + C.
Multiplicando por 2 e definindo C_{1}=2C,
y^{2} = \frac{2}{3}\ln\bigl|1+x^{3}\bigr| + C_{1}.

Passo 6

Para isolar y, tomamos a raiz quadrada (mais ou menos), ficando
y(x) = \pm \sqrt{\frac{2}{3}\,\ln\bigl|1+x^{3}\bigr| + C_{1}}.

Resposta

y(x) = \pm \sqrt{\frac{2}{3}\,\ln\bigl|1+x^{3}\bigr| + C_{1}},
onde C_{1} é constante arbitrária.

Exercícios relacionados