encontre a solução do problema de valor inicial dado.
y^{\prime}-2 y=e^{2 t}, \quad y(0)=2

Passo 1

O enunciado dá um problema de valor inicial (PVI) com a equação diferencial e a condição inicial:
  • Equação: y' - 2y = e^{2t}.
  • Condição inicial: y(0)=2.
O que se pede: encontrar a função y(t) que satisfaz a equação diferencial para todos t (num intervalo onde a solução exista) e que verifica a condição y(0)=2.

Passo 2

Reconhecer a forma padrão da equação e identificar os coeficientes. Uma equação linear de primeira ordem tem a forma
y' + p(t)\,y = g(t).
Comparando com a dada, obtemos:
p(t) = -2,\qquad g(t)=e^{2t}.
Aqui p(t) é a função que multiplica y e g(t) é o termo independente (forçamento). Identificar p e g é o primeiro passo para usar o método do fator integrante.

Passo 3

Explicar o método do fator integrante (intuição e fórmula). A ideia é multiplicar a equação por uma função \mu(t) tal que o lado esquerdo se torne a derivada de \mu(t)y(t). A condição necessária é
\mu'(t) = p(t)\,\mu(t),
cuja solução é
\mu(t)=e^{\int p(t)\,dt}.
Depois de achar \mu(t), a equação multiplicada fica
\frac{d}{dt}\big(\mu(t)\,y(t)\big)=\mu(t)\,g(t),
que se resolve integrando ambos os lados. Essa técnica transforma a equação não-exata em uma exata através do multiplicador \mu.

Passo 4

Calcular o fator integrante para o nosso caso. Como p(t)=-2,
\mu(t)=e^{\int -2\,dt}=e^{-2t}.
Explicação rápida: integrate -2 em t -2t, e o exponencial disso é o fator integrante.

Passo 5

Multiplicar a equação original por \mu(t)=e^{-2t}. Fazendo isso obtemos:
e^{-2t}y' -2e^{-2t}y = e^{-2t}e^{2t}.
Observar que o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto e^{-2t}y, pois
\frac{d}{dt}\big(e^{-2t}y\big)=e^{-2t}y' + (e^{-2t})' y = e^{-2t}y' -2e^{-2t}y.
No lado direito simplifica:
e^{-2t}e^{2t}=1.

Passo 6

Agora integramos ambos os lados em relação a t:
\frac{d}{dt}\big(e^{-2t}y\big)=1 \quad\Rightarrow\quad \int \frac{d}{dt}\big(e^{-2t}y\big)\,dt = \int 1\,dt.
Da integral do lado esquerdo vem e^{-2t}y e do direito t + C, onde C é constante de integração. Logo:
e^{-2t}y = t + C.

Passo 7

Isolar y para obter a solução geral do PVI:
y(t) = e^{2t}\big(t + C\big) = t e^{2t} + C e^{2t}.
Interpretação: essa é a solução geral da equação diferencial linear dada, com a constante C que será determinada pela condição inicial.

Passo 8

Aplicar a condição inicial y(0)=2 para encontrar C. Substituindo t=0 na expressão geral:
y(0)=0\cdot e^{0} + C e^{0} = C.
Como y(0)=2, temos C=2.

Passo 9

Substituir C=2 na solução geral para obter a solução particular que satisfaz o PVI:
y(t) = e^{2t}\big(t + 2\big).

Passo 10

Verificação rápida (só para confirmar): calcular y' e checar a equação.
y(t) = (t+2)e^{2t}\quad\Rightarrow\quad y'(t) = e^{2t} + 2(t+2)e^{2t} = e^{2t}(2t+5).
Então
y' - 2y = e^{2t}(2t+5) - 2e^{2t}(t+2) = e^{2t}(2t+5-2t-4)=e^{2t},
que coincide com o lado direito da equação dada. A condição inicial também é satisfeita. Tudo confere.

Resposta

y(t)=(t+2)e^{2t}

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