encontre a solução do problema de valor inicial dado.
Passo 1
O enunciado dá um problema de valor inicial (PVI) com a equação diferencial e a condição inicial:
- Equação:
. - Condição inicial:
.
O que se pede: encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial para todos
(num intervalo onde a solução exista) e que verifica a condição
.
Passo 2
Reconhecer a forma padrão da equação e identificar os coeficientes. Uma equação linear de primeira ordem tem a forma
Comparando com a dada, obtemos:
Aqui
é a função que multiplica
e
é o termo independente (forçamento). Identificar
e
é o primeiro passo para usar o método do fator integrante.
Passo 3
Explicar o método do fator integrante (intuição e fórmula). A ideia é multiplicar a equação por uma função
tal que o lado esquerdo se torne a derivada de
. A condição necessária é
cuja solução é
Depois de achar
, a equação multiplicada fica
que se resolve integrando ambos os lados. Essa técnica transforma a equação não-exata em uma exata através do multiplicador
.
Passo 4
Calcular o fator integrante para o nosso caso. Como
,
Explicação rápida: integrate
em
dá
, e o exponencial disso é o fator integrante.
Passo 5
Multiplicar a equação original por
. Fazendo isso obtemos:
Observar que o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto
, pois
No lado direito simplifica:
Passo 6
Agora integramos ambos os lados em relação a
:
Da integral do lado esquerdo vem
e do direito
, onde
é constante de integração. Logo:
Passo 7
Isolar
para obter a solução geral do PVI:
Interpretação: essa é a solução geral da equação diferencial linear dada, com a constante
que será determinada pela condição inicial.
Passo 8
Aplicar a condição inicial
para encontrar
. Substituindo
na expressão geral:
Como
, temos
.
Passo 9
Substituir
na solução geral para obter a solução particular que satisfaz o PVI:
Passo 10
Verificação rápida (só para confirmar): calcular
e checar a equação.
Então
que coincide com o lado direito da equação dada. A condição inicial também é satisfeita. Tudo confere.