Determine a área de um hexágono regular:
cuja distância entre dois lados paralelos é 18 cm .
cuja distância entre dois lados paralelos é 18 cm .
Passo 1
O enunciado dá a distância entre dois lados paralelos do hexágono regular igual a
.
O que se pede: determinar a área do hexágono (em ).
O que se pede: determinar a área do hexágono (em
Passo 2
Entender o que significa a distância entre lados paralelos. Numa figura regular, a distância entre dois lados opostos é o dobro do apótema. Definições:
- Apótema: seja
a distância do centro do polígono até um lado (perpendicular ao lado). - A distância entre dois lados paralelos opostos é
.
Como o enunciado deu essa distância, temos
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Passo 3
Fórmula prática para a área de um polígono regular: a área é metade do produto do perímetro pelo apótema. Ou seja, para apótema
e perímetro
,
No caso do hexágono regular, o perímetro é
, onde
é a medida do lado. Substituindo,
Aqui
é o comprimento do lado (em
) e
é o apótema (em
).
Passo 4
Relacionar o apótema
com o lado
. Num hexágono regular pode-se dividir a figura em 6 triângulos equiláteros de lado
. A altura (apoio perpendicular) de um triângulo equilátero de lado
é
; essa é precisamente o apótema. Portanto
Isolando
:
Passo 5
Substituir
para encontrar
:
Simplificando (dividindo numerador e denominador por
ou reconhecendo que
):
Passo 6
Calcular a área usando
com
e
:
Calcular passo a passo:
Portanto a área é
. (Como verificação rápida: usando a fórmula alternativa
com
também dá o mesmo resultado.)