Determine a área de um hexágono regular:
cuja distância entre dois lados paralelos é 18 cm .

Passo 1

O enunciado dá a distância entre dois lados paralelos do hexágono regular igual a \,18\\ \text{cm}\,.
O que se pede: determinar a área do hexágono (em \text{cm}^2).

Passo 2

Entender o que significa a distância entre lados paralelos. Numa figura regular, a distância entre dois lados opostos é o dobro do apótema. Definições:
  • Apótema: seja a a distância do centro do polígono até um lado (perpendicular ao lado).
  • A distância entre dois lados paralelos opostos é 2a.
    Como o enunciado deu essa distância, temos
2a = 18\\ \text{cm}.
Logo
a = \frac{18}{2}=9\\ \text{cm}.

Passo 3

Fórmula prática para a área de um polígono regular: a área é metade do produto do perímetro pelo apótema. Ou seja, para apótema a e perímetro P,
A=\frac{1}{2}Pa.
No caso do hexágono regular, o perímetro é P=6s, onde s é a medida do lado. Substituindo,
A=\frac{1}{2}\cdot 6s\cdot a = 3 s a.
Aqui s é o comprimento do lado (em \text{cm}) e a é o apótema (em \text{cm}).

Passo 4

Relacionar o apótema a com o lado s. Num hexágono regular pode-se dividir a figura em 6 triângulos equiláteros de lado s. A altura (apoio perpendicular) de um triângulo equilátero de lado s é \dfrac{\sqrt{3}}{2}s; essa é precisamente o apótema. Portanto
a=\frac{\sqrt{3}}{2}s.
Isolando s:
s=\frac{2a}{\sqrt{3}}.

Passo 5

Substituir a=9\\ \text{cm} para encontrar s:
s=\frac{2\cdot 9}{\sqrt{3}}=\frac{18}{\sqrt{3}}.
Simplificando (dividindo numerador e denominador por \sqrt{3} ou reconhecendo que \dfrac{18}{\sqrt{3}}=6\sqrt{3}):
s=6\sqrt{3}\\ \text{cm}.

Passo 6

Calcular a área usando A=3 s a com s=6\sqrt{3} e a=9:
A=3\cdot(6\sqrt{3})\cdot 9.
Calcular passo a passo:
6\sqrt{3}\cdot 9 = 54\sqrt{3},
3\cdot 54\sqrt{3} = 162\sqrt{3}.
Portanto a área é \,162\sqrt{3}\\ \text{cm}^2. (Como verificação rápida: usando a fórmula alternativa A=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}s^2 com s=6\sqrt{3} também dá o mesmo resultado.)

Resposta

162\sqrt{3}\\ \text{cm}^2

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