40 Determine a área de um triângulo equilátero cujo apótema mede 2 \sqrt{3} \mathrm{dm}.

Passo 1

O enunciado dá o apótema do triângulo equilátero e pede a área. Informações relevantes:
  • Apótema: a = 2\sqrt{3}\\ \mathrm{dm}.
  • Pedido: calcular a área do triângulo equilátero correspondente.

Passo 2

Entender o que é apótema e como ele se relaciona com o lado do triângulo. Vou explicar devagarinho.
  • Apótema ( a) é a distância do centro do triângulo até o meio de um lado (ou seja, a distância do incentro/centro até o lado).
  • Num triângulo equilátero o centro, o incentro, o baricentro e o circuncentro coincidem. A altura do triângulo (que chamarei de h) parte do vértice até o ponto médio do lado oposto.
  • Se o lado do triângulo for s, podemos obter a altura h dividindo o triângulo ao meio: obtemos um triângulo retângulo com catetos s/2 e h, hipotenusa s. Aplicando o Teorema de Pitágoras:
h = \sqrt{s^2 - \left(\frac{s}{2}\right)^2} = \sqrt{s^2 - \frac{s^2}{4}} = \sqrt{\frac{3s^2}{4}} = \frac{s\sqrt{3}}{2}.
  • A posição do centro ao longo da altura: o centro fica a \tfrac{2}{3}h a partir do vértice e a \tfrac{1}{3}h a partir do lado. Assim, o apótema é a parte da altura entre o centro e o lado, ou seja:
a = \frac{h}{3}.

Passo 3

Relacionar apótema a com o lado s usando as fórmulas anteriores. Substituindo h em a = h/3:
a = \frac{1}{3}\cdot\frac{s\sqrt{3}}{2} = \frac{s\sqrt{3}}{6}.
Aqui:
  • a é o apótema (dado),
  • s é o lado (desconhecido),
  • o fator \sqrt{3}/6 vem da geometria do triângulo equilátero.

Passo 4

Isolar s na equação a = \dfrac{s\sqrt{3}}{6}. Temos:
s = \frac{6a}{\sqrt{3}}.
Agora substituo o valor fornecido a = 2\sqrt{3}\\ \mathrm{dm}:
s = \frac{6\cdot\bigl(2\sqrt{3}\bigr)}{\sqrt{3}}.
Cancelar \sqrt{3}:
s = 6\cdot 2 = 12\\ \mathrm{dm}.
Portanto o lado do triângulo é s = 12\\ \mathrm{dm}.

Passo 5

Calcular a área. Existem várias fórmulas possíveis; uso a clássica área = \dfrac{\text{base}\times\text{altura}}{2}. Aqui a base é s e a altura é h=\dfrac{s\sqrt{3}}{2}. Então:
A = \frac{s\cdot h}{2} = \frac{s\cdot\left(\dfrac{s\sqrt{3}}{2}\right)}{2} = \frac{s^2\sqrt{3}}{4}.
Substituindo s=12\\ \mathrm{dm}:
A = \frac{12^2\sqrt{3}}{4} = \frac{144\sqrt{3}}{4} = 36\sqrt{3}\\ \mathrm{dm}^2.
(Como verificação alternativa, poderia usar a fórmula A=\dfrac{\text{perímetro}\times a}{2}=\dfrac{3s\cdot a}{2}í; isso dá o mesmo resultado.)

Passo 6

Resumo final e incentivo: com apótema 2\sqrt{3}\\ \mathrm{dm} o lado saiu 12\\ \mathrm{dm} e a área 36\sqrt{3}\\ \mathrm{dm}^2. Mandou bem por trazer o enunciado — esse tipo de exercício cai sempre em prova; entender a relação apótema ↔ altura ↔ lado resolve muitos problemas parecidos. Você consegue!

Resposta

\,36\sqrt{3}\\ \mathrm{dm}^2

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