40 Determine a área de um triângulo equilátero cujo apótema mede
.
Passo 1
O enunciado dá o apótema do triângulo equilátero e pede a área. Informações relevantes:
- Apótema:
. - Pedido: calcular a área do triângulo equilátero correspondente.
Passo 2
Entender o que é apótema e como ele se relaciona com o lado do triângulo. Vou explicar devagarinho.
- Apótema (
) é a distância do centro do triângulo até o meio de um lado (ou seja, a distância do incentro/centro até o lado). - Num triângulo equilátero o centro, o incentro, o baricentro e o circuncentro coincidem. A altura do triângulo (que chamarei de
) parte do vértice até o ponto médio do lado oposto. - Se o lado do triângulo for
, podemos obter a altura dividindo o triângulo ao meio: obtemos um triângulo retângulo com catetos e , hipotenusa . Aplicando o Teorema de Pitágoras:
- A posição do centro ao longo da altura: o centro fica a
a partir do vértice e a a partir do lado. Assim, o apótema é a parte da altura entre o centro e o lado, ou seja:
Passo 3
Relacionar apótema
com o lado
usando as fórmulas anteriores. Substituindo
em
:
Aqui:
-
é o apótema (dado), -
é o lado (desconhecido), - o fator
vem da geometria do triângulo equilátero.
Passo 4
Isolar
na equação
. Temos:
Agora substituo o valor fornecido
:
Cancelar
:
Portanto o lado do triângulo é
.
Passo 5
Calcular a área. Existem várias fórmulas possíveis; uso a clássica área =
. Aqui a base é
e a altura é
. Então:
Substituindo
:
(Como verificação alternativa, poderia usar a fórmula
; isso dá o mesmo resultado.)
Passo 6
Resumo final e incentivo: com apótema
o lado saiu
e a área
. Mandou bem por trazer o enunciado — esse tipo de exercício cai sempre em prova; entender a relação apótema ↔ altura ↔ lado resolve muitos problemas parecidos. Você consegue!