Encontre a solução para o problema de valor inicial para as equações abaixo, considerando a família de soluções dadas:
x^{\prime \prime}+x=0 ; \quad x=c_{1} \cos t+c_{2} \operatorname{sen} t ; \quad x\left(\frac{\pi}{6}\right)=1=\frac{1}{2} e x^{\prime}\left(\frac{\pi}{6}\right)=1

Passo 1

O enunciado pede a solução do problema de valor inicial
x''+x=0
cuja família geral de soluções é
x(t)=c_{1}\cos t+c_{2}\sin t,
com as condições
x\!\Bigl(\tfrac{\pi}{6}\Bigr)=\tfrac12,\quad x'\!\Bigl(\tfrac{\pi}{6}\Bigr)=1.
Para achar c_{1} e c_{2}, vamos derivar x(t), avaliar em t=\tfrac{\pi}{6} e resolver o sistema resultante.

Passo 2

Calculando a derivada,
x'(t)=-c_{1}\sin t+c_{2}\cos t.
Em t=\tfrac{\pi}{6} temos \sin\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr)=\tfrac12 e \cos\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr)=\tfrac{\sqrt3}{2}. Logo as duas condições viram o sistema
\begin{cases} c_{1}\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr)+c_{2}\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr)=\tfrac12,\\[6pt] -\,c_{1}\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr)+c_{2}\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr)=1. \end{cases}
Substituindo os valores de seno e cosseno:
\begin{cases} c_{1}\,\tfrac{\sqrt3}{2}+c_{2}\,\tfrac12=\tfrac12,\\[4pt] -\,c_{1}\,\tfrac12+c_{2}\,\tfrac{\sqrt3}{2}=1. \end{cases}]

Passo 3

Multiplicando a primeira equação por 2 e a segunda por 2, obtemos
\begin{cases} \sqrt3\,c_{1}+c_{2}=1,\\\\ -\,c_{1}+\sqrt3\,c_{2}=2. \end{cases}
Da segunda eq. segue c_{1}=\sqrt3\,c_{2}-2. Substituindo na primeira:
\sqrt3\bigl(\sqrt3\,c_{2}-2\bigr)+c_{2}=1 \quad\Rightarrow\quad 3\,c_{2}-2\sqrt3+c_{2}=1 \quad\Rightarrow\quad 4\,c_{2}=1+2\sqrt3
\Rightarrow\quad c_{2}=\frac{1+2\sqrt3}{4}, \quad c_{1}=\sqrt3\,\frac{1+2\sqrt3}{4}-2 =\frac{\sqrt3+6-8}{4} =\frac{\sqrt3-2}{4}.

Passo 4

Substituindo c_{1} e c_{2} em x(t)=c_{1}\cos t+c_{2}\sin t, a solução do IVP é
x(t)=\frac{\sqrt3-2}{4}\,\cos t +\frac{1+2\sqrt3}{4}\,\sin t.

Resposta

x(t)=\frac{\sqrt3-2}{4}\cos t+\frac{1+2\sqrt3}{4}\sin t.

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