Encontre a solução do problema de valor inicial:
l y^prime prime+5 y^prime+6 y=0 y(0)=2 y^prime(0)=3
Escolha uma opção:
Nenhuma das demais alternativas

Passo 1

Este problema é um PVI (problema de valor inicial) de EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos usar equação característica para resolver.

Passo 2

Formamos a equação característica associada à EDO, substituindo y∼e^{rt} em y’’+5y’+6y=0. Isso dá
r^2+5r+6=0
Resolvendo-a, encontramos as raízes r=-2 e r=-3.

Passo 3

Como as raízes são distintas, a solução geral da EDO é
y(t)=C1e^-2t+C2e^-3t

Passo 4

Calculamos a derivada
y'(t)=-2C1e^-2t-3C2e^-3t
Aplicamos as condições iniciais: em t=0, y(0)=C_1+C_2=2 e y’(0)=-2C_1-3C_2=3. Resolvendo esse sistema:
C_1+C_2=2
-2C_1-3C_2=3
Encontramos C_1=9 e C_2=-7.

Passo 5

Substituindo C_1 e C_2 na solução geral, obtemos a solução particular do PVI.

Resposta

y(t)=9e^-2t-7e^-3t

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