1. Encontre a solução do problema de valor inicial a seguir
2 y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}=0, y(0)=\frac{5}{4}, y^{\prime}(0)=-\frac{3}{4}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução do problema de valor inicial dado por
2y''-3y'=0,\qquad y(0)=\frac{5}{4},\qquad y'(0)=-\frac{3}{4}.
Informações fornecidas:
\;2 e -3 são coeficientes constantes na equação diferencial de segunda ordem; a condição inicial é dada em x=0 para y e y'. O objetivo é determinar uma função y(x) que satisfaça a equação diferencial para todo x e que cumpra as duas condições iniciais.

Passo 2

Estratégia (explicada passo a passo): para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes, uma técnica padrão é procurar soluções da forma
y(x)=e^{rx},
porque as derivadas de e^{rx} são múltiplos de e^{rx} (isso simplifica a equação). Se colocarmos y=e^{rx}, temos y'=r e^{rx} e y''=r^{2}e^{rx}. Substituindo na equação diferencial, obtemos um polinômio em r chamado equação característica. As raízes desse polinômio dão as exponenciais que compõem a solução geral.

Passo 3

Aplicando a substituição y=e^{rx} em \;2y''-3y'=0 obtemos
2(r^{2}e^{rx})-3(r e^{rx})=0.
Fatorando e^{rx} (que nunca é zero), chegamos à equação característica
2r^{2}-3r=0.
Agora resolvemos para r. Fatorando,
r(2r-3)=0,
portanto as raízes são
r_{1}=0,\qquad r_{2}=\frac{3}{2}.

Passo 4

Como as raízes r_{1} e r_{2} são reais e distintas, a solução geral da equação homogênea é
y(x)=C_{1}e^{r_{1}x}+C_{2}e^{r_{2}x}.
Substituindo r_{1}=0 e r_{2}=\tfrac{3}{2} obtemos
y(x)=C_{1}+C_{2}e^{\frac{3}{2}x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes a determinar com as condições iniciais. Observação: e^{0\cdot x}=1, por isso aparece apenas C_{1}.

Passo 5

Calculemos a derivada y'(x) para aplicar a condição inicial em y'. Derivando a expressão acima:
y'(x)=0 + C_{2}\cdot \frac{3}{2}e^{\frac{3}{2}x}=\frac{3}{2}C_{2}e^{\frac{3}{2}x}.
Aqui usei que a derivada de e^{\frac{3}{2}x} é \tfrac{3}{2}e^{\frac{3}{2}x}.

Passo 6

Aplique as condições iniciais em x=0.
Da condição y(0)=\frac{5}{4}:
y(0)=C_{1}+C_{2}=\frac{5}{4}.
Da condição y'(0)=-\frac{3}{4}:
y'(0)=\frac{3}{2}C_{2}=-\frac{3}{4}.
Resolva a segunda equação para C_{2}:
C_{2}=\left(-\frac{3}{4}\right)\cdot\frac{2}{3}=-\frac{1}{2}.
Agora encontre C_{1} usando C_{1}+C_{2}=\frac{5}{4}:
C_{1}=\frac{5}{4}-C_{2}=\frac{5}{4}-\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{5}{4}+\frac{1}{2}=\frac{5}{4}+\frac{2}{4}=\frac{7}{4}.

Passo 7

Substituindo C_{1}=\frac{7}{4} e C_{2}=-\frac{1}{2} na solução geral, obtemos a solução particular do problema de valor inicial:
y(x)=\frac{7}{4}-\frac{1}{2}e^{\frac{3}{2}x}.
Verificação rápida em x=0: y(0)=\tfrac{7}{4}-\tfrac{1}{2}=\tfrac{7-2}{4}=\tfrac{5}{4}. E y'(x)=-\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{3}{2}e^{\frac{3}{2}x}=-\tfrac{3}{4}e^{\frac{3}{2}x}, logo y'(0)=-\tfrac{3}{4}. Portanto satisfaz as condições iniciais.

Resposta

y(x)=\frac{7}{4}-\frac{1}{2}e^{\frac{3}{2}x}

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