- Encontre a solução do problema de valor inicial a seguir
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a solução do problema de valor inicial dado por
Informações fornecidas:
e
são coeficientes constantes na equação diferencial de segunda ordem; a condição inicial é dada em
para
e
. O objetivo é determinar uma função
que satisfaça a equação diferencial para todo
e que cumpra as duas condições iniciais.
Passo 2
Estratégia (explicada passo a passo): para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes, uma técnica padrão é procurar soluções da forma
porque as derivadas de
são múltiplos de
(isso simplifica a equação). Se colocarmos
, temos
e
. Substituindo na equação diferencial, obtemos um polinômio em
chamado equação característica. As raízes desse polinômio dão as exponenciais que compõem a solução geral.
Passo 3
Aplicando a substituição
em
obtemos
Fatorando
(que nunca é zero), chegamos à equação característica
Agora resolvemos para
. Fatorando,
portanto as raízes são
Passo 4
Como as raízes
e
são reais e distintas, a solução geral da equação homogênea é
Substituindo
e
obtemos
onde
e
são constantes a determinar com as condições iniciais. Observação:
, por isso aparece apenas
.
Passo 5
Calculemos a derivada
para aplicar a condição inicial em
. Derivando a expressão acima:
Aqui usei que a derivada de
é
.
Passo 6
Aplique as condições iniciais em
.
Da condição
:
Da condição
:
Resolva a segunda equação para
:
Agora encontre
usando
:
Passo 7
Substituindo
e
na solução geral, obtemos a solução particular do problema de valor inicial:
Verificação rápida em
:
. E
, logo
. Portanto satisfaz as condições iniciais.