As seguintes funções são linearmente independentes no intervalo dado?
(a) x, \ln x em 0<x<10
(b) e^{a x}, e^{-a x} em qualquer intervalo
(c) 3 x^{2}, 2 x^{n} em 0<x<1
(d) \cos ^{2} x, \sin ^{2} x em qualquer intervalo
(e) x-2, x+2 em -2<x<2
(f) 5 \sin x \cos x, 3 \sin (2 x) em x>0
Passo 1
O enunciado pergunta se pares de funções são linearmente independentes nos intervalos dados. As perguntas são (a)–(f), cada uma com um par de funções e um intervalo. Informações relevantes que o enunciado fornece: \newline
(a) funções \,x e \,\ln x no intervalo 0<x<10. \newline
(b) funções \,e^{a x} e \,e^{-a x} em “qualquer intervalo” (a constante a é parâmetro). \newline
(c) funções \,3x^{2} e \,2x^{n} no intervalo 0<x<1 (onde n é parâmetro). \newline
(d) funções \,\cos^{2}x e \,\sin^{2}x em qualquer intervalo. \newline
(e) funções \,x-2 e \,x+2 em -2<x<2. \newline
(f) funções \,5\sin x\cos x e \,3\sin(2x) em x>0. \newline
Cada item pede: são linearmente independentes (ou não) no intervalo indicado?
Passo 2
Definição e critério útil (explicação didática): duas funções f e g definidas num mesmo intervalo são linearmente dependentes se existem constantes c_{1},c_{2}, não ambas zero, tais que
c_{1}f(x)+c_{2}g(x)=0\quad\text{para todo }x\text{ no intervalo.}
Para pares de funções essa definição simplifica: f e g são linearmente dependentes exatamente quando uma é múltiplo escalar da outra em todo o intervalo, isto é, existe constante k tal que
f(x)=k\,g(x)\quad\text{para todo }x.
Se não existe tal k (ou seja, a razão f(x)/g(x) não é constante no intervalo, quando g não é zero), então são linearmente independentes. Vou usar esse critério porque é direto para pares e dá provas curtas e confiáveis.
Passo 3
Observação sobre técnica de prova: para cada par eu vou tentar mostrar que não existe constante k que torne uma função múltiplo da outra (ou mostrarei explicitamente o múltiplo quando existir). Quando necessário, escolherei valores específicos de x no intervalo para obter um sistema de equações para as constantes c_1,c_2 (ou para k). Isso é uma técnica simples e prática para provas em prova sem calculadora.
Passo 4
Suponha que existam constantes c_{1},c_{2} com
c_{1}x + c_{2}\ln x = 0\quad\text{para todo }x\in(0,10).
Escolho x=1. Como \ln 1=0 temos
c_{1}\cdot 1 + c_{2}\cdot 0 = 0 \implies c_{1}=0.
Com c_{1}=0 a identidade fica c_{2}\ln x=0 para todo x\in(0,10). Mas \ln x não é a função identicamente zero no intervalo (por exemplo \ln 2\neq 0), logo é necessário c_{2}=0. Assim só a combinação trivial c_{1}=c_{2}=0 anula a combinação linear, o que implica que x e \ln x são linearmente independentes em (0,10).
Passo 5
Comparo as duas funções pelo critério de proporcionalidade. Se existisse k tal que
e^{ax} = k\,e^{-ax}\quad\text{para todo }x,
então
e^{2ax}=k\quad\text{para todo }x.
A expressão da esquerda depende de x quando a\neq 0, enquanto k seria constante — isso só pode ocorrer se a=0. Assim:
Se a\neq 0: não existe k constante que faça e^{ax}=k e^{-ax} para todo x, então e^{ax} e e^{-ax} são linearmente independentes.
Se a=0: então e^{ax}=e^{0}=1 e e^{-ax}=1, ambas as funções são iguais à função constante 1, logo são linearmente dependentes (na verdade idênticas). Portanto conclusão completa: dependentes somente quando \,a=0; independentes para \,a\neq 0.
Passo 6
Pergunte-se: existe k com
3x^{2} = k\cdot 2x^{n}\quad\text{para todo }x\in(0,1)?
Reescrevo como
\frac{3}{2k} = x^{\,n-2}\quad\text{para todo }x\in(0,1).
O lado direito x^{\,n-2} depende de x a menos que o expoente seja zero, isto é, a menos que n-2=0. Portanto:
Se n=2: então 3x^{2} e 2x^{2} são múltiplos um do outro (3x^{2}=(3/2)\cdot 2x^{2}), logo são linearmente dependentes.
Se n\neq 2: a função x^{\,n-2} não é constante em (0,1), logo não existe k que satisfaça a igualdade para todo x; portanto são linearmente independentes.
Passo 7
Procuro constantes c_{1},c_{2} tais que
c_{1}\cos^{2}x + c_{2}\sin^{2}x = 0\quad\text{para todo }x.
Uso a identidade \sin^{2}x = 1-\cos^{2}x. Substituindo:
c_{1}\cos^{2}x + c_{2}(1-\cos^{2}x)=0 \implies (c_{1}-c_{2})\cos^{2}x + c_{2}=0\quad\text{para todo }x.
Agora \cos^{2}x assume mais de um valor no intervalo (em qualquer intervalo com mais de um ponto \cos^{2}x varia), então para essa igualdade ser válida para todo x é necessário que os coeficientes da parte variável e da constante sejam zero:
c_{1}-c_{2}=0\quad\text{e}\quad c_{2}=0.
Daí c_{2}=0 e c_{1}=0. Logo apenas a combinação trivial anula, o que mostra que \cos^{2}x e \sin^{2}x são linearmente independentes em qualquer intervalo de interesse.
Passo 8
Procuro c_{1},c_{2}\) com
\[c_{1}(x-2)+c_{2}(x+2)=0\quad\text{para todo }x\in(-2,2).
Agrupo termos em x:
(c_{1}+c_{2})x + (-2c_{1}+2c_{2})=0\quad\text{para todo }x.
Para que um polinômio linear seja identicamente zero, os coeficientes devem ser zero:
c_{1}+c_{2}=0,\quad -2c_{1}+2c_{2}=0.
Dividindo a segunda por 2: -c_{1}+c_{2}=0. Resolvo o sistema: