Encontre a transformada de Laplace das seguintes funções:
* f(t)= \begin{cases}t & \text { se } 0 \leq t<1 \\\\ 2-t & \text { se } 1 \leq t<2 \\\\ 0 & \text { se } 2 \leq t<\infty\end{cases}

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(t)= \begin{cases}t & \text{se } 0 \le t<1,\\[4pt] 2-t & \text{se } 1 \le t<2,\\[4pt] 0 & \text{se } 2 \le t<\infty, \end{cases}
e pede para encontrar a transformada de Laplace de f.
Informações relevantes que temos:
  • Valores de f(t) em cada intervalo: \,f(t)=t em [0,1), \,f(t)=2-t em [1,2), e \,f(t)=0 a partir de 2.
  • A transformada de Laplace é definida por uma integral de 0 a \infty; por isso devemos dividir essa integral de acordo com os intervalos onde f é diferente.]

Passo 2

Vamos usar a definição da transformada de Laplace. A transformada de Laplace de uma função f(t) é
\mathcal{L}\{f\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}\,f(t)\,dt,
onde s é uma variável complexa (na prática, para convergência aqui precisamos de \Re(s)>0).
Explicando: a integral pesa f(t) por um fator decrescente e^{-st}, e é isso que transforma a função do tempo t para uma função de s. Para funções definidas por partes, somamos as integrais em cada intervalo onde a definição muda. Aplicando isso ao nosso f:
\mathcal{L}\{f\}(s)=\int_{0}^{1} e^{-st}\,t\,dt \;+\; \int_{1}^{2} e^{-st}\,(2-t)\,dt \;+\; \int_{2}^{\infty} e^{-st}\cdot 0\,dt.
A última integral é nula, então restam duas integrais a calcular.

Passo 3

Calcular a primeira integral \displaystyle \int_{0}^{1} t e^{-st}\,dt.
Aqui usamos integração por partes. A fórmula de integração por partes é
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Escolhemos u=t (então du=dt) e dv=e^{-st}dt (então v=\displaystyle -\frac{1}{s}e^{-st}). Aplicando a fórmula e avaliando de 0 a 1:
\int_{0}^{1} t e^{-st}\,dt = \left.-\frac{t}{s}e^{-st}\right|_{0}^{1} + \frac{1}{s}\int_{0}^{1} e^{-st}\,dt.
Agora calculamos a integral remanescente:
\int_{0}^{1} e^{-st}\,dt = \left.-\frac{1}{s}e^{-st}\right|_{0}^{1} = \frac{1-e^{-s}}{s}.
Substituindo:
\int_{0}^{1} t e^{-st}\,dt = -\frac{1}{s}e^{-s} + \frac{1}{s}\cdot\frac{1-e^{-s}}{s} = -\frac{e^{-s}}{s} + \frac{1-e^{-s}}{s^{2}}.
Colocando em denominador comum e simplificando obtemos
\int_{0}^{1} t e^{-st}\,dt = \frac{1-(s+1)e^{-s}}{s^{2}}.

Passo 4

Calcular a segunda integral \displaystyle \int_{1}^{2} (2-t)e^{-st}\,dt.
Uma forma prática é separar em duas integrais:
\int_{1}^{2} (2-t)e^{-st}\,dt = 2\int_{1}^{2} e^{-st}\,dt \;-\; \int_{1}^{2} t e^{-st}\,dt.
Primeiro termo:
2\int_{1}^{2} e^{-st}\,dt = 2\left.-\frac{1}{s}e^{-st}\right|_{1}^{2} = \frac{2}{s}\left(e^{-s}-e^{-2s}\right).
Segundo termo: usamos a primitiva já conhecida para \int t e^{-st}\,dt. Pelo cálculo por partes temos a primitiva
\int t e^{-st}\,dt = -\frac{t}{s}e^{-st} - \frac{1}{s^{2}}e^{-st} + C.
Avaliando de 1 a 2:
\int_{1}^{2} t e^{-st}\,dt = \left(-\frac{t}{s}e^{-st} - \frac{1}{s^{2}}e^{-st}\right)\Bigg|_{1}^{2}.
Calculando as bordas:
\int_{1}^{2} t e^{-st}\,dt = \left(-\frac{2e^{-2s}}{s} - \frac{e^{-2s}}{s^{2}}\right) - \left(-\frac{e^{-s}}{s} - \frac{e^{-s}}{s^{2}}\right).
Simplificando:
\int_{1}^{2} t e^{-st}\,dt = -\frac{2e^{-2s}}{s} - \frac{e^{-2s}}{s^{2}} + \frac{e^{-s}}{s} + \frac{e^{-s}}{s^{2}}.
Agora subtraímos esse resultado do primeiro termo:
\int_{1}^{2} (2-t)e^{-st}\,dt = \frac{2}{s}\bigl(e^{-s}-e^{-2s}\bigr) - \Bigl(-\frac{2e^{-2s}}{s} - \frac{e^{-2s}}{s^{2}} + \frac{e^{-s}}{s} + \frac{e^{-s}}{s^{2}}\Bigr).
Agrupando e simplificando termos semelhantes obtemos
\int_{1}^{2} (2-t)e^{-st}\,dt = \frac{e^{-s}(s-1) + e^{-2s}}{s^{2}}.

Passo 5

Somar as duas integrais obtidas para ter \mathcal{L}\{f\}(s). Temos
\mathcal{L}\{f\}(s) = \frac{1-(s+1)e^{-s}}{s^{2}} \;+\; \frac{e^{-s}(s-1) + e^{-2s}}{s^{2}}.
Juntando numeradores:
1-(s+1)e^{-s} + e^{-s}(s-1) + e^{-2s} = 1 -2e^{-s} + e^{-2s}.
Logo
\mathcal{L}\{f\}(s) = \frac{1 - 2e^{-s} + e^{-2s}}{s^{2}}.
Reconhecendo um quadrado perfeito no numerador:
1 - 2e^{-s} + e^{-2s} = \bigl(1 - e^{-s}\bigr)^{2}.
Portanto a forma mais compacta é
\mathcal{L}\{f\}(s) = \frac{\bigl(1 - e^{-s}\bigr)^{2}}{s^{2}}, \qquad \Re(s)>0.

Passo 6

Comentário didático e alternativa (opcional): outra maneira de chegar ao mesmo resultado é escrever f(t) usando funções degrau (função de Heaviside) e usar a propriedade de deslocamento no tempo da transformada de Laplace. Por exemplo
f(t)=t\,[u(t)-u(t-1)] + (2-t)\,[u(t-1)-u(t-2)].
Transformando cada termo com deslocamentos e combinando também leva a \dfrac{(1-e^{-s})^{2}}{s^{2}}. Preferi calcular diretamente as integrais porque, para esta função simples por partes, a integração direta é bem direta e permite ver claramente o cancelamento que dá o quadrado perfeito.

Resposta

\mathcal{L}\{f\}(s)=\frac{\bigl(1 - e^{-s}\bigr)^{2}}{s^{2}},\qquad \Re(s)>0.

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