e pede para encontrar a transformada de Laplace de f.
Informações relevantes que temos:
Valores de f(t) em cada intervalo: \,f(t)=t em [0,1), \,f(t)=2-t em [1,2), e \,f(t)=0 a partir de 2.
A transformada de Laplace é definida por uma integral de 0 a \infty; por isso devemos dividir essa integral de acordo com os intervalos onde f é diferente.]
Passo 2
Vamos usar a definição da transformada de Laplace. A transformada de Laplace de uma função f(t) é
onde s é uma variável complexa (na prática, para convergência aqui precisamos de \Re(s)>0).
Explicando: a integral pesa f(t) por um fator decrescente e^{-st}, e é isso que transforma a função do tempo t para uma função de s. Para funções definidas por partes, somamos as integrais em cada intervalo onde a definição muda. Aplicando isso ao nosso f:
Comentário didático e alternativa (opcional): outra maneira de chegar ao mesmo resultado é escrever f(t) usando funções degrau (função de Heaviside) e usar a propriedade de deslocamento no tempo da transformada de Laplace. Por exemplo
f(t)=t\,[u(t)-u(t-1)] + (2-t)\,[u(t-1)-u(t-2)].
Transformando cada termo com deslocamentos e combinando também leva a \dfrac{(1-e^{-s})^{2}}{s^{2}}. Preferi calcular diretamente as integrais porque, para esta função simples por partes, a integração direta é bem direta e permite ver claramente o cancelamento que dá o quadrado perfeito.