Encontre uma solução para o problema de valor inicial
y^prime=x y^3 y(0)=2

Passo 1

Temos o problema de valor inicial dado por
y'=x,y^3, y(0)=2
O conteúdo aqui é equações diferenciais de primeira ordem separáveis, então vamos precisar usar a técnica de separação de variáveis e integrar ambos os lados.

Passo 2

Para separar as variáveis, escrevemos
dydx=x,y^3Longrightarrowdyy^3=x,dx Aqui colocamos todo termo em y do lado esquerdo e todo termo em x do lado direito.

Passo 3

Agora integramos ambos os lados:
integral y^-3,dy=integral x,dx Essa etapa usa a regra básica de potenciais na integração.

Passo 4

Calculando as integrais, obtemos
integral y^-3dy=-12y^2+C1eintegral xdx=x^22+C2
Juntando as constantes em uma só (digamos C), temos
-12y^2=x^22+C

Passo 5

Multiplicando por -2), definimos :
C'=-2C) e isolamos (y

Passo 6

Aplicando a condição inicial (y(0)=2), temos
12^2=14=C'
Logo
1y^2=14-x^2

Passo 7

Extraímos y e escolhemos o sinal positivo para atender y(0)=2>0:
y(x)=1raiztfrac14 - x^2

Passo 8

Para que a expressão faça sentido, exigimos tfrac14 - x^2>0, ou seja |x|.

Resposta

y(x)=dfrac1raiztfrac14 - x^2, \quad para |x|.

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