Determine o campo gradiente
das funções dadas abaixo.
(f)
.
(f)
Passo 1
O enunciado pede para encontrar o campo gradiente de f(x,y,z)=x e^{xy}+y z. Isso envolve calcular as derivadas parciais de f em relação a x, y e z e montar o vetor gradiente. Vamos usar regras de derivação (regra do produto e regra da cadeia).
Passo 2
Para achar ∂f/∂x, trate f como f(x,y,z)=x e^{xy}+y z. Na primeira parte usamos a regra do produto: a derivada de x é 1 vezes e^{xy} mais x vezes a derivada de e^{xy} em relação a x, que é e^{xy}·y. A segunda parte y z não depende de x, então sua derivada é 0. Assim,
“∂f/∂x = e^{xy} + x·y·e^{xy} = e^{xy}(1 + x y)”
“∂f/∂x = e^{xy} + x·y·e^{xy} = e^{xy}(1 + x y)”
Passo 3
Para ∂f/∂y, na parte x e^{xy} a constante é x e derivamos e^{xy} em relação a y: e^{xy}·x, resultando em x^2 e^{xy}. Na parte y z, derivada de y em relação a y é 1 vezes z, dando z. Logo,
“∂f/∂y = x^2 e^{xy} + z”
“∂f/∂y = x^2 e^{xy} + z”
Passo 4
Para ∂f/∂z, a única parte que depende de z é y z. Derivando em relação a z: y. Portanto,
“∂f/∂z = y”
“∂f/∂z = y”