Encontre a solução do problema de valor inicial
.
Faça o gráfico da solução para
determine seu valor mínimo.
Faça o gráfico da solução para
Passo 1
O enunciado pede: resolver o problema de valor inicial
e, em seguida, fazer o gráfico da solução no intervalo
e determinar o valor mínimo da solução nesse intervalo.
Informações dadas e importantes para a solução:
Informações dadas e importantes para a solução:
- A equação diferencial é linear de segunda ordem com coeficientes constantes:
. - Condições iniciais:
e . - Intervalo para o gráfico:
.
Passo 2
Vamos encontrar a solução geral da equação diferencial. Para equações lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes, usamos a equação característica. Assumimos uma solução da forma
. Substituindo na equação
obtemos a equação característica
Isto significa que procuramos
tais que
.
Passo 3
Resolvendo a equação característica
temos:
Como as raízes são reais e distintas (
e
), a forma geral da solução é
onde
e
são constantes a determinar pelas condições iniciais.
Passo 4
Calculamos a derivada para aplicar a condição inicial em
:
Aplicando
nas duas expressões e usando as condições iniciais:
Agora resolvemos o sistema linear para
e
. Somando as duas equações:
Substituindo em
obtemos
Passo 5
Logo a solução particular do problema de valor inicial é
Sempre que eu escrever uma expressão com exponencial, lembre que
é a base dos logaritmos naturais e
cresce exponencialmente com
, enquanto
decai quando
aumenta.
Passo 6
Agora vamos analisar o gráfico e encontrar o valor mínimo no intervalo pedido. Primeiro calculamos a derivada para localizar extremos:
Para achar pontos críticos resolvemos
:
Multiplicando ambos os lados por
(que é sempre positivo, logo não altera igualdade nem o sentido das desigualdades) obtemos
Tomando logaritmo natural:
Portanto há um único ponto crítico real em
.
Passo 7
Para determinar se esse ponto é mínimo ou máximo usamos a segunda derivada:
Note que
para todo
(soma de termos positivos), então em qualquer ponto crítico a segunda derivada é positiva, o que indica um mínimo local. Como
quando
(cada um dos termos domina em direções opostas), esse mínimo local é global. Em particular, no intervalo
o único extremo é esse mínimo em
.
Passo 8
Calculamos o valor mínimo substituindo
na solução:
Para orientar o traçado do gráfico em
é útil conhecer alguns pontos e monotonicidade:
-
. - O ponto mínimo:
com . - Para
a função cresce e em tem valor grande (por exemplo, numericamente ), então no intervalo pedido a função decresce de até e cresce fortemente até .
Para desenhar o gráfico: marquecom , marque com (o mínimo), e desenhe uma curva suave decrescendo até esse ponto e depois subindo exponencialmente até .
Resposta
Mínimo em