Encontre a solução do problema de valor inicial
y^{\prime \prime}-y=0, \quad y(0)=\frac{5}{4}, \quad y^{\prime}(0)=-\frac{3}{4}.
Faça o gráfico da solução para 0 \leq t \leq 2 \mathrm{e} determine seu valor mínimo.

Passo 1

O enunciado pede: resolver o problema de valor inicial
y''-y=0,\qquad y(0)=\frac{5}{4},\qquad y'(0)=-\frac{3}{4},
e, em seguida, fazer o gráfico da solução no intervalo \,0\le t\le 2e\, e determinar o valor mínimo da solução nesse intervalo.
Informações dadas e importantes para a solução:
  • A equação diferencial é linear de segunda ordem com coeficientes constantes: \,y''-y=0.
  • Condições iniciais: \,y(0)=\dfrac{5}{4} e \,y'(0)=-\dfrac{3}{4}.
  • Intervalo para o gráfico: \,0\le t\le 2e.

Passo 2

Vamos encontrar a solução geral da equação diferencial. Para equações lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes, usamos a equação característica. Assumimos uma solução da forma \,y(t)=e^{rt}. Substituindo na equação \,y''-y=0 obtemos a equação característica
r^{2}-1=0.
Isto significa que procuramos r tais que r^{2}-1=0.

Passo 3

Resolvendo a equação característica \,r^{2}-1=0 temos:
r^{2}=1 \quad\Rightarrow\quad r=\pm 1.
Como as raízes são reais e distintas ( r_{1}=1 e r_{2}=-1), a forma geral da solução é
y(t)=C_{1}e^{t}+C_{2}e^{-t},
onde C_{1} e C_{2} são constantes a determinar pelas condições iniciais.

Passo 4

Calculamos a derivada para aplicar a condição inicial em y':
y'(t)=C_{1}e^{t}-C_{2}e^{-t}.
Aplicando t=0 nas duas expressões e usando as condições iniciais:
y(0)=C_{1}+C_{2}=\frac{5}{4},
y'(0)=C_{1}-C_{2}=-\frac{3}{4}.
Agora resolvemos o sistema linear para C_{1} e C_{2}. Somando as duas equações:
2C_{1}=\frac{5}{4}-\frac{3}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\quad\Rightarrow\quad C_{1}=\frac{1}{4}.
Substituindo em C_{1}+C_{2}=\frac{5}{4} obtemos
C_{2}=\frac{5}{4}-\frac{1}{4}=1.

Passo 5

Logo a solução particular do problema de valor inicial é
y(t)=\frac{1}{4}e^{t}+e^{-t}.
Sempre que eu escrever uma expressão com exponencial, lembre que e é a base dos logaritmos naturais e e^{t} cresce exponencialmente com t, enquanto e^{-t} decai quando t aumenta.

Passo 6

Agora vamos analisar o gráfico e encontrar o valor mínimo no intervalo pedido. Primeiro calculamos a derivada para localizar extremos:
y'(t)=\frac{1}{4}e^{t}-e^{-t}.
Para achar pontos críticos resolvemos y'(t)=0:
\frac{1}{4}e^{t}-e^{-t}=0.
Multiplicando ambos os lados por e^{t} (que é sempre positivo, logo não altera igualdade nem o sentido das desigualdades) obtemos
\frac{1}{4}e^{2t}-1=0 \quad\Rightarrow\quad e^{2t}=4.
Tomando logaritmo natural:
2t=\ln 4 \quad\Rightarrow\quad t=\frac{1}{2}\ln 4=\ln 2.
Portanto há um único ponto crítico real em t=\ln 2.

Passo 7

Para determinar se esse ponto é mínimo ou máximo usamos a segunda derivada:
y''(t)=\frac{1}{4}e^{t}+e^{-t}.
Note que \frac{1}{4}e^{t}+e^{-t}>0 para todo t (soma de termos positivos), então em qualquer ponto crítico a segunda derivada é positiva, o que indica um mínimo local. Como y(t)\to+\infty quando t\to\pm\infty (cada um dos termos domina em direções opostas), esse mínimo local é global. Em particular, no intervalo [0,2e] o único extremo é esse mínimo em t=\ln 2.

Passo 8

Calculamos o valor mínimo substituindo t=\ln 2 na solução:
y(\ln 2)=\frac{1}{4}e^{\ln 2}+e^{-\ln 2}=\frac{1}{4}\cdot 2 + \frac{1}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1.
Para orientar o traçado do gráfico em [0,2e] é útil conhecer alguns pontos e monotonicidade:
  • y(0)=\dfrac{1}{4}\cdot 1 + 1 = \dfrac{5}{4}=1{,}25.
  • O ponto mínimo: t=\ln 2\approx 0{,}6931 com y(\ln 2)=1.
  • Para t>\ln 2 a função cresce e em t=2e tem valor grande (por exemplo, numericamente y(2e)\approx 57{,}39), então no intervalo pedido a função decresce de t=0 até t=\ln 2 e cresce fortemente até t=2e.
    Para desenhar o gráfico: marque t=0 com y=1{,}25, marque t=\ln 2 com y=1 (o mínimo), e desenhe uma curva suave decrescendo até esse ponto e depois subindo exponencialmente até t=2e.

Resposta

y(t)=\dfrac{1}{4}e^{t}+e^{-t}
Mínimo em t=\ln 2 com valor mínimo y(\ln 2)=1

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