Na parte (a) a normal da faceta é a direção z; vou usar a normal unitária \mathbf{n}=(0,0,1). Na parte (b) a normal dada é (2,1,0) — esta NÃO é unitária, então preciso normalizá‑la antes de usar nas fórmulas.
Passo 2
Fórmulas essenciais (explicando bem):
O vetor de tração (vetor tensão na face de normal \mathbf{n}) é dado por
\mathbf{t}=\tau\,\mathbf{n},
onde \tau é a matriz do estado de tensões e \mathbf{n} é o vetor normal unitário. Aqui \mathbf{t} tem as componentes de tensão que atuam sobre a face com normal \mathbf{n}.
A componente normal (escalar) da tensão nessa face é
\sigma_n=\mathbf{t}\cdot\mathbf{n},
ou seja, projetamos \mathbf{t} sobre \mathbf{n}.
A componente cisalhante (vetorial) é a parte de \mathbf{t} perpendicular a \mathbf{n}:
\mathbf{s}=\mathbf{t}-\sigma_n\,\mathbf{n}.
A magnitude do cisalhamento é \|\mathbf{s}\|.
Vou aplicar essas fórmulas primeiro para a normal \mathbf{n}=(0,0,1).
Passo 3
Calcular a tração para a faceta de normal z. Como \mathbf{n}=(0,0,1) é unitária, basta multiplicar a matriz pelo vetor coluna:
mas o enunciado da parte (b) pede especificamente o vetor tensão, que já foi calculado acima.]
Resposta
(a) componente normal: \; \sigma_n=6
(a) componente cisalhante (vetor): \; \mathbf{s}=(2,4,0) e sua magnitude \; \|\mathbf{s}\|=2\sqrt{5}
(b) vetor tensão (tração) na face de normal (2,1,0): \; \mathbf{t}=\displaystyle\begin{pmatrix}\dfrac{4}{\sqrt{5}}\\[6pt]\dfrac{-4}{\sqrt{5}}\\[6pt]\dfrac{8}{\sqrt{5}}\end{pmatrix}]