Dado o estado tensional ao lado determine: (a) a componente normal e cisalhante na faceta de normal z; (b) o vetor tensão no ponto associado ao plano
\tau=\left[\begin{array}{ccc} 2 & 0 & 2 \\\\ 0 & -4 & 4 \\\\ 2 & 4 & 6 \end{array}\right]
de normal (2,1,0);

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. (a) Determinar a componente normal e a componente cisalhante numa faceta cuja normal é a direção z.
  2. (b) Determinar o vetor tensão (tração) no ponto associado ao plano de normal (2,1,0).
As informações dadas:
\tau=\left[\begin{array}{ccc} 2 & 0 & 2 \\\\ 0 & -4 & 4 \\\\ 2 & 4 & 6 \end{array}\right].
Na parte (a) a normal da faceta é a direção z; vou usar a normal unitária \mathbf{n}=(0,0,1). Na parte (b) a normal dada é (2,1,0) — esta NÃO é unitária, então preciso normalizá‑la antes de usar nas fórmulas.

Passo 2

Fórmulas essenciais (explicando bem):
  • O vetor de tração (vetor tensão na face de normal \mathbf{n}) é dado por
\mathbf{t}=\tau\,\mathbf{n},
onde \tau é a matriz do estado de tensões e \mathbf{n} é o vetor normal unitário. Aqui \mathbf{t} tem as componentes de tensão que atuam sobre a face com normal \mathbf{n}.
  • A componente normal (escalar) da tensão nessa face é
\sigma_n=\mathbf{t}\cdot\mathbf{n},
ou seja, projetamos \mathbf{t} sobre \mathbf{n}.
  • A componente cisalhante (vetorial) é a parte de \mathbf{t} perpendicular a \mathbf{n}:
\mathbf{s}=\mathbf{t}-\sigma_n\,\mathbf{n}.
A magnitude do cisalhamento é \|\mathbf{s}\|.
Vou aplicar essas fórmulas primeiro para a normal \mathbf{n}=(0,0,1).

Passo 3

Calcular a tração para a faceta de normal z. Como \mathbf{n}=(0,0,1) é unitária, basta multiplicar a matriz pelo vetor coluna:
\mathbf{t}_z=\tau\begin{pmatrix}0\\[2pt]0\\[2pt]1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 2 \\\\ 0 & -4 & 4 \\\\ 2 & 4 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}0\\[2pt]0\\[2pt]1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\[2pt]4\\[2pt]6\end{pmatrix}.
Portanto o vetor tração na face com normal z é \mathbf{t}_z=(2,4,6).]

Passo 4

Calcular a componente normal \sigma_n e a componente cisalhante \mathbf{s} para a faceta z.
A componente normal (projeção de \mathbf{t}_z sobre \mathbf{n}) é
\sigma_n=\mathbf{t}_z\cdot\mathbf{n}=(2,4,6)\cdot(0,0,1)=6.
A componente cisalhante vetorial é
\mathbf{s}=\mathbf{t}_z-\sigma_n\,\mathbf{n}=(2,4,6)-6(0,0,1)=(2,4,0).
A magnitude do cisalhamento é
\|\mathbf{s}\|=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}.

Passo 5

Agora a parte (b): calcular o vetor tensão (tração) para a face de normal (2,1,0).
Primeiro normalizo a normal dada. O comprimento de (2,1,0) é
\|\,(2,1,0)\,\|=\sqrt{2^2+1^2+0^2}=\sqrt{5},
portanto a normal unitária é
\mathbf{n}_u=\frac{1}{\sqrt{5}}(2,1,0).
Calculo \tau multiplicado por (2,1,0) (antes de dividir por \sqrt{5}):
\tau\begin{pmatrix}2\\[2pt]1\\[2pt]0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 2 \\\\ 0 & -4 & 4 \\\\ 2 & 4 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}2\\[2pt]1\\[2pt]0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4\\[2pt]-4\\[2pt]8 \end{pmatrix}.
Dividindo por \sqrt{5} para usar a normal unitária, obtemos a tração:
\mathbf{t}_{(2,1,0)}=\tau\,\mathbf{n}_u=\frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix}4\\[2pt]-4\\[2pt]8\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\dfrac{4}{\sqrt{5}}\\[6pt]\dfrac{-4}{\sqrt{5}}\\[6pt]\dfrac{8}{\sqrt{5}}\end{pmatrix}.
Opcional (curto cálculo adicional de ensino): a componente normal escalar nessa face seria
\sigma_n=\mathbf{t}_{(2,1,0)}\cdot\mathbf{n}_u =\frac{1}{5}\big(4\cdot2+(-4)\cdot1+8\cdot0\big)=\frac{4}{5},
mas o enunciado da parte (b) pede especificamente o vetor tensão, que já foi calculado acima.]

Resposta

(a) componente normal: \; \sigma_n=6
(a) componente cisalhante (vetor): \; \mathbf{s}=(2,4,0) e sua magnitude \; \|\mathbf{s}\|=2\sqrt{5}
(b) vetor tensão (tração) na face de normal (2,1,0): \; \mathbf{t}=\displaystyle\begin{pmatrix}\dfrac{4}{\sqrt{5}}\\[6pt]\dfrac{-4}{\sqrt{5}}\\[6pt]\dfrac{8}{\sqrt{5}}\end{pmatrix}]

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