Sendo \sigma_{1}=7,85 \mathrm{MPa}, \sigma_{2}=0,54 \mathrm{MPa} e \sigma_{3}=-5,39 \mathrm{MPa} as tensões principais do estado tensional ao lado no ponto M, determine as direções principais, a máxima tensão cisalhante no ponto M, e a direção da faceta em relação ao sistema x y z em que ocorre a tensão cisalhante máxima
as direções principais (ou seja, os vetores próprios unitários associados a \sigma_{1},\sigma_{2},\sigma_{3}) em relação ao sistema xyz;
a máxima tensão cisalhante no ponto M;
a direção da faceta (normal da face) em relação ao sistema xyz onde ocorre essa tensão cisalhante máxima.]
Passo 2
Conceitos e método (mini-aula rápida e prática):
Uma matriz de tensões simétrica, como \boldsymbol{\sigma}_{xyz}, tem autovalores reais e autovetores ortogonais. Os autovalores são as tensões principais \sigma_i e os autovetores unitários são as direções principais.
Para achar a direção principal associada a um autovalor \lambda resolvemos (\boldsymbol{\sigma}-\lambda\mathbf{I})\mathbf{v}=\mathbf{0} e normalizamos \mathbf{v} para ter comprimento 1.
A máxima tensão cisalhante absoluta num ponto sólido é
ou seja, metade da diferença entre a maior e a menor tensão principal. Aqui \sigma_{\max}=\sigma_{1} e \sigma_{\min}=\sigma_{3}.
A faceta que suporta essa máxima tensão cisalhante está orientada de modo que sua normal é o bissetor entre as direções principais correspondentes a \sigma_{1} e \sigma_{3}. Em termos de vetores próprios unitários \mathbf{e}_1 (para \sigma_1) e \mathbf{e}_3 (para \sigma_3), normais que produzem a máxima cisalha são
(obtendo duas normais opostas/alternativas que geram a mesma magnitude de cisalha, com sinais opostos).
Passo 3
Encontrando os autovetores (direções principais). Vamos resolver [(\boldsymbol{\sigma}-\lambda\mathbf{I})\mathbf{v}=\mathbf{0}) para cada \lambda=\sigma_{1},\sigma_{2},\sigma_{3}. Vou mostrar o sistema linear que surge e como obter um autovetor particular, depois normalizo.
Da primeira equação y=\dfrac{12{,}85}{2}x=6{,}425x\].
Substituindo na terceira: \(3(6{,}425x)-5{,}85z=0\Rightarrow z=\dfrac{3\cdot6{,}425}{5{,}85}x\approx3{,}2954x.
Tomando x=1 obtemos um autovetor (não normalizado)
Da primeira y=\dfrac{5{,}54}{2}x=2{,}77x\].
Substituindo na terceira: \(3(2{,}77x)+1{,}46z=0\Rightarrow z=-\dfrac{3\cdot2{,}77}{1{,}46}x\approx-5{,}7081x.
Tomando x=1:
Da primeira y=-\dfrac{0{,}39}{2}x=-0{,}195x\].
Substituindo na terceira: \(3(-0{,}195x)+7{,}39z=0\Rightarrow z=\dfrac{3\cdot0{,}195}{7{,}39}x\approx0{,}07402x.
Tomando x=1:
Observação: os vetores \mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3 obtidos são aproximadamente ortonormais (como esperado para matriz simétrica). Sinais dos vetores podem ser trocados sem alterar a direção principal.]
Comentários didáticos rápidos: cada \mathbf{n}_{\pm} é uma normal de faceta (em coordenadas x,y,z) que fornece a máxima tensão de cisalha \tau_{\max}. A diferença entre \mathbf{n}_{+} e \mathbf{n}_{-} é que geram cisalhas de sinais opostos (direções tangenciais opostas), mas a magnitude é a mesma.]
Resposta
Direções principais (vetores unitários no sistema xyz):
Direção da faceta (normais em xyz) onde ocorre \tau_{\max}:
\mathbf{n}_{+}\approx\begin{bmatrix}0{,}7894\\[2pt]0{,}4886\\[2pt]0{,}3707\end{bmatrix} e \mathbf{n}_{-}\approx\begin{bmatrix}-0{,}5955\\[2pt]0{,}7583\\[2pt]0{,}2682\end{bmatrix}]