Sendo \sigma_{1}=7,85 \mathrm{MPa}, \sigma_{2}=0,54 \mathrm{MPa} e \sigma_{3}=-5,39 \mathrm{MPa} as tensões principais do estado tensional ao lado no ponto M, determine as direções principais, a máxima tensão cisalhante no ponto M, e a direção da faceta em relação ao sistema x y z em que ocorre a tensão cisalhante máxima
\tau=\left[\begin{array}{ccc} -5 & 2 & 0 \\\\ 2 & 6 & 3 \\\\ 0 & 3 & 2 \end{array}\right]_{x y z}

Passo 1

O enunciado dá as tensões principais no ponto M:
\sigma_{1}=7{,}85\\ \mathrm{MPa},\qquad \sigma_{2}=0{,}54\\ \mathrm{MPa},\qquad \sigma_{3}=-5{,}39\\ \mathrm{MPa},
e fornece a matriz de tensões no sistema xyz:
\boldsymbol{\sigma}_{xyz}=\begin{bmatrix} -5 & 2 & 0\\[4pt] 2 & 6 & 3\\[4pt] 0 & 3 & 2 \end{bmatrix}_{xyz}\\ (\text{valores em MPa}).
O que nos pedem:
  • as direções principais (ou seja, os vetores próprios unitários associados a \sigma_{1},\sigma_{2},\sigma_{3}) em relação ao sistema xyz;
  • a máxima tensão cisalhante no ponto M;
  • a direção da faceta (normal da face) em relação ao sistema xyz onde ocorre essa tensão cisalhante máxima.]

Passo 2

Conceitos e método (mini-aula rápida e prática):
  • Uma matriz de tensões simétrica, como \boldsymbol{\sigma}_{xyz}, tem autovalores reais e autovetores ortogonais. Os autovalores são as tensões principais \sigma_i e os autovetores unitários são as direções principais.
  • Para achar a direção principal associada a um autovalor \lambda resolvemos (\boldsymbol{\sigma}-\lambda\mathbf{I})\mathbf{v}=\mathbf{0} e normalizamos \mathbf{v} para ter comprimento 1.
  • A máxima tensão cisalhante absoluta num ponto sólido é
\tau_{\max}=\frac{\sigma_{\max}-\sigma_{\min}}{2},
ou seja, metade da diferença entre a maior e a menor tensão principal. Aqui \sigma_{\max}=\sigma_{1} e \sigma_{\min}=\sigma_{3}.
  • A faceta que suporta essa máxima tensão cisalhante está orientada de modo que sua normal é o bissetor entre as direções principais correspondentes a \sigma_{1} e \sigma_{3}. Em termos de vetores próprios unitários \mathbf{e}_1 (para \sigma_1) e \mathbf{e}_3 (para \sigma_3), normais que produzem a máxima cisalha são
\mathbf{n}_{\pm}=\frac{\mathbf{e}_1\pm\mathbf{e}_3}{\sqrt{2}},
(obtendo duas normais opostas/alternativas que geram a mesma magnitude de cisalha, com sinais opostos).

Passo 3

Encontrando os autovetores (direções principais). Vamos resolver [(\boldsymbol{\sigma}-\lambda\mathbf{I})\mathbf{v}=\mathbf{0}) para cada \lambda=\sigma_{1},\sigma_{2},\sigma_{3}. Vou mostrar o sistema linear que surge e como obter um autovetor particular, depois normalizo.
Para \lambda=\sigma_{1}=7{,}85:
\boldsymbol{\sigma}-\lambda\mathbf{I}= \begin{bmatrix} -5-7{,}85 & 2 & 0\\[4pt] 2 & 6-7{,}85 & 3\\[4pt] 0 & 3 & 2-7{,}85 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -12{,}85 & 2 & 0\\[4pt] 2 & -1{,}85 & 3\\[4pt] 0 & 3 & -5{,}85 \end{bmatrix}.
Chamando \mathbf{v}=(x,y,z)^{T}, as equações são
\begin{cases} -12{,}85x+2y=0,\\[4pt] 2x-1{,}85y+3z=0,\\[4pt] 3y-5{,}85z=0. \end{cases}
Da primeira equação y=\dfrac{12{,}85}{2}x=6{,}425x\]. Substituindo na terceira: \(3(6{,}425x)-5{,}85z=0\Rightarrow z=\dfrac{3\cdot6{,}425}{5{,}85}x\approx3{,}2954x.
Tomando x=1 obtemos um autovetor (não normalizado)
\mathbf{v}_1\approx\begin{bmatrix}1\\[2pt]6{,}425\\[2pt]3{,}2954\end{bmatrix}.
Norma:
\|\mathbf{v}_1\|=\sqrt{1^2+6{,}425^2+3{,}2954^2}\approx7{,}292.
Autovetor unitário (direção principal para \sigma_1):
\mathbf{e}_1=\frac{\mathbf{v}_1}{\|\mathbf{v}_1\|}\approx \begin{bmatrix}0{,}13709\\[2pt]0{,}88163\\[2pt]0{,}45176\end{bmatrix}_{xyz}.]

Passo 4

Agora para \lambda=\sigma_{2}=0{,}54\): \[\boldsymbol{\sigma}-\lambda\mathbf{I}= \begin{bmatrix} -5{,}54 & 2 & 0\\[4pt] 2 & 5{,}46 & 3\\[4pt] 0 & 3 & 1{,}46 \end{bmatrix}.
Equações:
\begin{cases} -5{,}54x+2y=0,\\[4pt] 2x+5{,}46y+3z=0,\\[4pt] 3y+1{,}46z=0. \end{cases}
Da primeira y=\dfrac{5{,}54}{2}x=2{,}77x\]. Substituindo na terceira: \(3(2{,}77x)+1{,}46z=0\Rightarrow z=-\dfrac{3\cdot2{,}77}{1{,}46}x\approx-5{,}7081x.
Tomando x=1:
\mathbf{v}_2\approx\begin{bmatrix}1\\[2pt]2{,}77\\[2pt]-5{,}7081\end{bmatrix}.
Norma:
\|\mathbf{v}_2\|\approx\sqrt{1^2+2{,}77^2+(-5{,}7081)^2}\approx6{,}422.
Autovetor unitário (direção principal para \sigma_2):
\mathbf{e}_2=\frac{\mathbf{v}_2}{\|\mathbf{v}_2\|}\approx \begin{bmatrix}0{,}1557\\[2pt]0{,}4315\\[2pt]-0{,}8881\end{bmatrix}_{xyz}.]

Passo 5

Finalmente para \lambda=\sigma_{3}=-5{,}39\): \[\boldsymbol{\sigma}-\lambda\mathbf{I}= \begin{bmatrix} 0{,}39 & 2 & 0\\[4pt] 2 & 11{,}39 & 3\\[4pt] 0 & 3 & 7{,}39 \end{bmatrix}.
Equações:
\begin{cases} 0{,}39x+2y=0,\\[4pt] 2x+11{,}39y+3z=0,\\[4pt] 3y+7{,}39z=0. \end{cases}
Da primeira y=-\dfrac{0{,}39}{2}x=-0{,}195x\]. Substituindo na terceira: \(3(-0{,}195x)+7{,}39z=0\Rightarrow z=\dfrac{3\cdot0{,}195}{7{,}39}x\approx0{,}07402x.
Tomando x=1:
\mathbf{v}_3\approx\begin{bmatrix}1\\[2pt]-0{,}195\\[2pt]0{,}07402\end{bmatrix}.
Norma:
\|\mathbf{v}_3\|\approx\sqrt{1^2+(-0{,}195)^2+0{,}07402^2}\approx1{,}0216.
Autovetor unitário (direção principal para \sigma_3):
\mathbf{e}_3=\frac{\mathbf{v}_3}{\|\mathbf{v}_3\|}\approx \begin{bmatrix}0{,}97891\\[2pt]-0{,}19090\\[2pt]0{,}07245\end{bmatrix}_{xyz}.
Observação: os vetores \mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3 obtidos são aproximadamente ortonormais (como esperado para matriz simétrica). Sinais dos vetores podem ser trocados sem alterar a direção principal.]

Passo 6

Cálculo da máxima tensão cisalhante:
\tau_{\max}=\frac{\sigma_{1}-\sigma_{3}}{2}=\frac{7{,}85-(-5{,}39)}{2}=\frac{13{,}24}{2}=6{,}62\\ \mathrm{MPa}.

Passo 7

Direção da faceta em que ocorre a máxima tensão cisalhante:
  • Como explicado, as normais das facetas que produzem \tau_{\max} são os bissetores entre \mathbf{e}_1 e \mathbf{e}_3:
\mathbf{n}_{\pm}=\frac{\mathbf{e}_1\pm\mathbf{e}_3}{\sqrt{2}}.
Usando os valores numéricos calculados:
Somando \mathbf{e}_1+\mathbf{e}_3:
\mathbf{e}_1+\mathbf{e}_3\approx \begin{bmatrix} 0{,}13709+0{,}97891\\[2pt] 0{,}88163-0{,}19090\\[2pt] 0{,}45176+0{,}07245 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1{,}11600\\[2pt] 0{,}69073\\[2pt] 0{,}52421 \end{bmatrix}.
Dividindo por \sqrt{2}\approx1{,}41421 (isto já normaliza quando \mathbf{e}_1 e \mathbf{e}_3 são ortogonais):
\mathbf{n}_{+}\approx \begin{bmatrix}0{,}7894\\[2pt]0{,}4886\\[2pt]0{,}3707\end{bmatrix}_{xyz}.
Subtraindo \mathbf{e}_1-\mathbf{e}_3:
\mathbf{e}_1-\mathbf{e}_3\approx \begin{bmatrix} 0{,}13709-0{,}97891\\[2pt] 0{,}88163-(-0{,}19090)\\[2pt] 0{,}45176-0{,}07245 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -0{,}84182\\[2pt] 1{,}07253\\[2pt] 0{,}37931 \end{bmatrix},
dividindo por \sqrt{2}:
\mathbf{n}_{-}\approx \begin{bmatrix}-0{,}5955\\[2pt]0{,}7583\\[2pt]0{,}2682\end{bmatrix}_{xyz}.
Comentários didáticos rápidos: cada \mathbf{n}_{\pm} é uma normal de faceta (em coordenadas x,y,z) que fornece a máxima tensão de cisalha \tau_{\max}. A diferença entre \mathbf{n}_{+} e \mathbf{n}_{-} é que geram cisalhas de sinais opostos (direções tangenciais opostas), mas a magnitude é a mesma.]

Resposta

Direções principais (vetores unitários no sistema xyz):
\mathbf{e}_1\approx\begin{bmatrix}0{,}13709\\[2pt]0{,}88163\\[2pt]0{,}45176\end{bmatrix} (para \sigma_{1}=7{,}85\\ \mathrm{MPa})
\mathbf{e}_2\approx\begin{bmatrix}0{,}1557\\[2pt]0{,}4315\\[2pt]-0{,}8881\end{bmatrix} (para \sigma_{2}=0{,}54\\ \mathrm{MPa})
\mathbf{e}_3\approx\begin{bmatrix}0{,}97891\\[2pt]-0{,}19090\\[2pt]0{,}07245\end{bmatrix} (para \sigma_{3}=-5{,}39\\ \mathrm{MPa})
Máxima tensão cisalhante:
\tau_{\max}=6{,}62\\ \mathrm{MPa}
Direção da faceta (normais em xyz) onde ocorre \tau_{\max}:
\mathbf{n}_{+}\approx\begin{bmatrix}0{,}7894\\[2pt]0{,}4886\\[2pt]0{,}3707\end{bmatrix} e \mathbf{n}_{-}\approx\begin{bmatrix}-0{,}5955\\[2pt]0{,}7583\\[2pt]0{,}2682\end{bmatrix}]

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