Encontre a solução do PVI abaixo usando a transformada de Laplace:
y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}+2 y=0 \text { com } y(0)=1 \text { e } y^{\prime}(0)=0 \text {. }
DICA: Use que a transformada de Laplace \mathcal{L}[f(t)] de f(t)=e^{a t} é dada por \mathcal{L}[f(t)]=F(s)=\frac{1}{s-a}, s>a.

Passo 1

O enunciado pede a solução do problema de valor inicial
y'' + 3y' + 2y = 0, \quad y(0)=1,\;y'(0)=0
usando a transformada de Laplace. O conteúdo aqui é resolver EDOs lineares com coeficientes constantes por transformada de Laplace, aplicando as propriedades
\mathcal{L}[y'] = sY(s) - y(0), \quad \mathcal{L}[y''] = s^2Y(s) - s\,y(0) - y'(0),
e depois inverter a transformada via a tabela, em particular
\mathcal{L}[e^{at}] = \frac1{s - a}.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace à equação. Chamando Y(s)=\mathcal{L}[y(t)], obtemos
\mathcal{L}[y''] + 3\,\mathcal{L}[y'] + 2\,\mathcal{L}[y] = 0
ou seja
\bigl(s^2Y(s)-s\cdot y(0)-y'(0)\bigr) +3\bigl(sY(s)-y(0)\bigr) +2Y(s)=0.
Substituindo y(0)=1 e y'(0)=0
\bigl(s^2Y - s\bigr) +3\bigl(sY -1\bigr) +2Y =0.

Passo 3

Reunindo termos em Y(s),
s^2Y +3sY +2Y \;-\; s -3 =0 \quad\Longrightarrow\quad (s^2+3s+2)\,Y(s) = s+3.
Logo
Y(s) = \frac{s+3}{s^2+3s+2} = \frac{s+3}{(s+1)(s+2)}.

Passo 4

Fazemos a decomposição em frações parciais:
\frac{s+3}{(s+1)(s+2)} = \frac{A}{s+1} + \frac{B}{s+2}.
Temos
A+B=1, \quad 2A + B = 3 \;\Longrightarrow\; A=2,\;B=-1.
Portanto
Y(s) = \frac{2}{s+1} - \frac{1}{s+2}.

Passo 5

Agora invertendo a transformada usando \mathcal{L}^{-1}\bigl[\tfrac1{s+a}\bigr]=e^{-a t}, obtemos
y(t) = 2\,e^{-1\cdot t} \;-\; 1\cdot e^{-2\cdot t} = 2e^{-t} - e^{-2t}.

Resposta

y(t) = 2e^{-t} - e^{-2t}.

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