Encontre a solução do PVI
y^prime prime+y^prime-2 y=0, y(0)=1, y^prime(0)=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! O enunciado pede para encontrar a solução do PVI (Problema de Valor Inicial):
y'' + y' - 2y = 0, y(0) = 1, y'(0) = 1
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar usar a equação característica e aplicar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes na solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a equação característica associada à equação diferencial dada. A equação característica é uma equação polinomial obtida substituindo $ y’’ $ por $ r^2 $, $ y’ $ por $ r $ e $ y $ por 1. Então, temos:
y''

Passo 3

Agora, precisamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de $ r $. Vamos usar a fórmula de Bhaskara:
r
Aqui, $ a = 1 $, $ b = 1 $ e $ c = -2 $. Substituindo:
r = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Então, temos dois valores de $ r $:
a = 1

Passo 4

Com os valores de $ r $ encontrados, podemos escrever a solução geral da equação diferencial. Como temos duas raízes reais e distintas, a solução geral é:
r
Aqui, $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 5

Vamos aplicar a primeira condição inicial $ y(0) = 1 $. Substituindo $ t = 0 $ na solução geral:
y(0) = 1
Então, temos a primeira equação:
t = 0 çã

Passo 6

Agora, vamos aplicar a segunda condição inicial $ y’(0) = 1 $. Primeiro, precisamos derivar a solução geral:
y'(0) = 1
Substituindo $ t = 0 $:
y'(t) = C1 e^t - 2 C2 e^-2t
Então, temos a segunda equação:
t = 0 çã

Passo 7

Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
C1 + C2 = 1 C1 - 2 C2 = 1
Vamos resolver esse sistema. Podemos subtrair a Equação 1 da Equação 2:
(C1 - 2 C2) - (C1 + C2) = 1 - 1 Rightarrow -3 C2 = 0 Rightarrow C2 = 0
Substituindo $ C_2 = 0 $ na Equação 1:
C2 = 0

Resposta

Com $ C_1 = 1 $ e $ C_2 = 0 $, a solução do PVI é:
C1 = 1

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