Encontre a solução do PVI
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! O enunciado pede para encontrar a solução do PVI (Problema de Valor Inicial):
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar usar a equação característica e aplicar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes na solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a equação característica associada à equação diferencial dada. A equação característica é uma equação polinomial obtida substituindo $ y’’ $ por $ r^2 $, $ y’ $ por $ r $ e $ y $ por 1. Então, temos:
Passo 3
Agora, precisamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de $ r $. Vamos usar a fórmula de Bhaskara:
Aqui, $ a = 1 $, $ b = 1 $ e $ c = -2 $. Substituindo:
Então, temos dois valores de $ r $:
Passo 4
Com os valores de $ r $ encontrados, podemos escrever a solução geral da equação diferencial. Como temos duas raízes reais e distintas, a solução geral é:
Aqui, $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 5
Vamos aplicar a primeira condição inicial $ y(0) = 1 $. Substituindo $ t = 0 $ na solução geral:
Então, temos a primeira equação:
Passo 6
Agora, vamos aplicar a segunda condição inicial $ y’(0) = 1 $. Primeiro, precisamos derivar a solução geral:
Substituindo $ t = 0 $:
Então, temos a segunda equação:
Passo 7
Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
Vamos resolver esse sistema. Podemos subtrair a Equação 1 da Equação 2:
Substituindo $ C_2 = 0 $ na Equação 1:
Resposta
Com $ C_1 = 1 $ e $ C_2 = 0 $, a solução do PVI é: