Determine os valores alpha, beta e gamma, de modo que a equação diferencial
(9 x^2 y+beta y^2 gamma x y^3-2) d x+(alpha x^3-6 x^2 y^2+gamma x y+3) d y=0
seja exata, encontre a sua solução geral.

Passo 1

Beleza, vamos por partes! O enunciado pede para a gente encontrar os valores de alpha, beta e gamma de modo que a equação diferencial dada seja exata. Depois disso, precisamos achar a solução geral dessa equação. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de equações diferenciais exatas, que envolvem derivadas parciais e condições de exatidão. Então, vamos verificar as condições para que a equação seja exata e, se der certo, encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para facilitar:
(9 x^2 y + beta y^2 gamma x y^3 - 2) dx + (alpha x^3 - 6 x^2 y^2 + gamma x y + 3) dy = 0
Vamos chamar:
M(x, y) = 9 x^2 y + beta y^2 gamma x y^3 - 2
N(x, y) = alpha x^3 - 6 x^2 y^2 + gamma x y + 3
Para a equação ser exata, é preciso que a derivada parcial de M em relação a y seja igual à derivada parcial de N em relação a x:
partial Mpartial y = partial Npartial x

Passo 3

Vamos calcular partial Mpartial y:
partial Mpartial y = 9 x^2 + beta gamma x cdot 2 y cdot y^3 + beta y^2 gamma x cdot 3 y^2 - 0
Simplificando:
partial Mpartial y = 9 x^2 + 2 beta gamma x y^4 + 3 beta gamma x y^4 = 9 x^2 + 5 beta gamma x y^4

Passo 4

Agora, vamos calcular partial Npartial x:
partial Npartial x = alpha cdot 3 x^2 - 6 cdot 2 x y^2 + gamma y + 0
Simplificando:
partial Npartial x = 3 alpha x^2 - 12 x y^2 + gamma y

Passo 5

Para que a equação seja exata, as derivadas parciais devem ser iguais:
9 x^2 + 5 beta gamma x y^4 = 3 alpha x^2 - 12 x y^2 + gamma y
Agora, vamos igualar os coeficientes dos termos semelhantes de ambos os lados da equação:
  1. Coeficiente de x^2:
9 = 3 alpha implies alpha = 3
  1. Coeficiente de x y^4:
5 beta gamma = 0 implies beta = 0 (já que $gamma$ não pode ser zero) áã
  1. Coeficiente de x y^2:
    No lado esquerdo, não temos esse termo, então:
-12 = 0 implies Não há solução a menos que $beta = 0$ ãáçã
Com beta = 0, o termo 5 beta gamma x y^4 = 0, então a equação fica:
9 x^2 = 3 alpha x^2 - 12 x y^2 + gamma y
Substituindo alpha = 3:
9 x^2 = 9 x^2 - 12 x y^2 + gamma y
Isso simplifica para:
-12 x y^2 + gamma y = 0
Para isso ser válido para todo x e y, os coeficientes devem ser zero:
-12 x y^2 = 0 implies Válido se y = 0 ou x = 0 á
E:
gamma y = 0 implies gamma = 0

Passo 6

Então, encontramos que alpha = 3, beta = 0 e gamma = 0.
Agora, com esses valores, a equação diferencial fica:
(9 x^2 y - 2) dx + (3 x^3 - 6 x^2 y^2 + 3) dy = 0

Passo 7

Agora que a equação é exata, vamos encontrar a solução geral. Para isso, precisamos encontrar uma função F(x, y) tal que:
partial Fpartial x = M = 9 x^2 y - 2
Integrando M em relação a x:
F(x, y) = integral (9 x^2 y - 2) dx = 3 x^3 y - 2 x + h(y)
Aqui, h(y) é uma função que depende apenas de y.

Passo 8

Agora, vamos derivar F(x, y) em relação a y e igualar a N:
partial Fpartial y = 3 x^3 + h'(y) = N = 3 x^3 - 6 x^2 y^2 + 3
Igualando:
3 x^3 + h'(y) = 3 x^3 - 6 x^2 y^2 + 3
Simplificando:
h'(y) = -6 x^2 y^2 + 3
Mas, olha só, isso está estranho porque h'(y) não deveria depender de x. Isso indica que houve algum erro nos cálculos anteriores. Vamos revisar.

Passo 9

Revisando os passos anteriores, percebemos que ao ajustar gamma = 0, a equação resultante ainda apresenta inconsistências. Isso sugere que não há valores de alpha, beta e gamma que tornem a equação diferencial exata para todos os x e y. Portanto, a equação apresentada não é exata com os valores encontrados, ou talvez o enunciado tenha algum equívoco.

Resposta

Não há valores de alpha, beta e gamma que tornem a equação diferencial dada exata para todos os x e y. Portanto, a equação não possui uma solução geral exata com os parâmetros fornecidos.

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