Determine o valor da soma:
S=14 cdot 5 cdot 6+15 cdot 6 cdot 7+16 cdot 7 cdot 8+cdots+12021 cdot 2022 cdot 2023

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma soma assim:
S = 14 cdot 5 cdot 6 + 15 cdot 6 cdot 7 + 16 cdot 7 cdot 8 + cdots + 12021 cdot 2022 cdot 2023
A matéria que vamos usar aqui é sobre séries e somas, mais especificamente, somas telescópicas que facilitam bastante nossa vida na hora de somar termos que seguem um padrão. Para resolver isso, a gente vai precisar usar frações parciais para simplificar cada termo da soma.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como simplificar um termo genérico da soma. Vamos pegar um termo qualquer:
1n(n+1)(n+2)
A ideia é quebrar essa fração em partes menores que a gente consegue somar facilmente. Para isso, vamos usar frações parciais. Queremos escrever:
1n(n+1)(n+2) = An + Bn+1 + Cn+2

Passo 3

Agora, vamos encontrar os valores de $ A $, $ B $ e $ C $. Para isso, multiplicamos ambos os lados por $ n(n+1)(n+2) $ para eliminar os denominadores:
A
Vamos expandir e igualar os coeficientes dos mesmos poderes de $ n $:
B
C
Para essa igualdade ser verdadeira para todo $ n $, os coeficientes dos termos de mesmo grau devem ser iguais. Então, temos o sistema de equações:
n(n+1)(n+2)

Passo 4

Resolvendo o sistema:
Primeiro, da terceira equação:
2A = 1 Rightarrow A = 12
Substituindo $ A = \frac{1}{2} $ na primeira equação:
A = 12
E na segunda equação:
12 + B + C = 0 Rightarrow B + C = -12
Agora, temos:
3 cdot 12 + 2B + C = 0 Rightarrow 32 + 2B + C = 0 Rightarrow 2B + C = -32
Subtraindo a primeira da segunda:
B + C = -12 2B + C = -32
Substituindo $ B = -1 $ na primeira equação:
(2B + C) - (B + C) = -32 - (-12) Rightarrow B = -1

Passo 5

Agora que temos $ A = \frac{1}{2} $, $ B = -1 $ e $ C = \frac{1}{2} $, podemos escrever:
A = 12
Isso simplifica cada termo da nossa soma original.

Passo 6

Aplicando isso à nossa soma $ S $:
S
Vamos separar a soma em três partes:
S = sumn=4^2021 1n(n+1)(n+2) = sumn=4^2021 ( 1/2n - 1n+1 + 1/2n+2 )

Passo 7

Agora, vamos reindexar as somas para facilitar o cancelamento:
Para a segunda soma, deixe $ m = n+1 $, então quando $ n = 4 $, $ m = 5 $ e quando $ n = 2021 $, $ m = 2022 $. Assim:
m = n+1
Para a terceira soma, deixe $ k = n+2 $, então quando $ n = 4 $, $ k = 6 $ e quando $ n = 2021 $, $ k = 2023 $. Assim:
n = 4
Substituindo de volta:
m = 5

Passo 8

Agora, observamos que muitas parcelas se cancelam quando somamos tudo. Escrevendo as somas explícitas:
S = 12 ( 14 + 15 + cdots + 12021 ) - ( 15 + 16 + cdots + 12022 ) + 12 ( 16 + 17 + cdots + 12023 )
Vemos que os termos de 15 a 12021 se cancelam parcialmente.

Passo 9

Após o cancelamento, restam apenas os termos iniciais e finais:
S = 12 cdot 14 + 12 cdot 15 - 12022 + 12 cdot 12023
Simplificando:
S = 18 + 110 - 12022 + 14046

Passo 10

Agora, vamos calcular cada parte:
18 = 0,125
110 = 0,1
12022 approx 0,0004945
14046 approx 0,00024725
Somando tudo:
0,125 + 0,1 - 0,0004945 + 0,00024725 approx 0,225 - 0,00024725 approx 0,22475275
Convertendo para fração exata, somamos os termos:
18 + 110 = 540 + 440 = 940
-12022 + 14046 = -24044 + 14046 = -2 cdot 20234046 cdot 2023 + 1 cdot 20224046 cdot 2022 = aproximadamente -12022
Portanto, a soma exata fica:
S = 940 - 12022 approx 0,22475

Resposta

O valor da soma $ S $ é aproximadamente $ 0,22475 $.

Exercícios relacionados