Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma soma assim:
A matéria que vamos usar aqui é sobre séries e somas, mais especificamente, somas telescópicas que facilitam bastante nossa vida na hora de somar termos que seguem um padrão. Para resolver isso, a gente vai precisar usar frações parciais para simplificar cada termo da soma.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como simplificar um termo genérico da soma. Vamos pegar um termo qualquer:
A ideia é quebrar essa fração em partes menores que a gente consegue somar facilmente. Para isso, vamos usar frações parciais. Queremos escrever:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os valores de $ A $, $ B $ e $ C $. Para isso, multiplicamos ambos os lados por $ n(n+1)(n+2) $ para eliminar os denominadores:
Vamos expandir e igualar os coeficientes dos mesmos poderes de $ n $:
Para essa igualdade ser verdadeira para todo $ n $, os coeficientes dos termos de mesmo grau devem ser iguais. Então, temos o sistema de equações:
Passo 4
Resolvendo o sistema:
Primeiro, da terceira equação:
2A = 1 Rightarrow A = 12
Substituindo $ A = \frac{1}{2} $ na primeira equação:
A = 12
E na segunda equação:
12 + B + C = 0 Rightarrow B + C = -12
Agora, temos:
3 cdot 12 + 2B + C = 0 Rightarrow 32 + 2B + C = 0 Rightarrow 2B + C = -32
Subtraindo a primeira da segunda:
B + C = -12 2B + C = -32
Substituindo $ B = -1 $ na primeira equação:
(2B + C) - (B + C) = -32 - (-12) Rightarrow B = -1
Passo 5
Agora que temos $ A = \frac{1}{2} $, $ B = -1 $ e $ C = \frac{1}{2} $, podemos escrever:
A = 12
Isso simplifica cada termo da nossa soma original.